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Reglas Teóricas

Nombre de la regla	Si-Entonces	ante1	ante2	ante3	ante4	ante5	ante6	conse1	conse2	conse3	conse4	conse5	conse6		Antecedente		Consecuente
Postulado de la hipótesis	Si una propiedad está declarada en la hipótesis entonces es verdadera	afirmación x está declarada en la construcción						afirmación x es verdadera						49	Si una propiedad está declarada en la hipótesis	69	entonces es verdadera
Postulado de la construcción	Si una propiedad está declarada en la construcción entonces es verdadera	afirmación x está declarada en la construcción						afirmación x es verdadera						52	Si una propiedad está declarada en la construcción	72	entonces es verdadera
Teorema1 perpendiculares y paralelas	Si dos rectas son perpendiculares al mismo objeto entonces son paralelas	x es perpendicular a z	y es perpendicular a z					x es paralela a y						52	Si dos rectas son perpendiculares al mismo objeto	74	entonces son paralelas
Teorema2 perpendiculares y paralelas	Si dos rectas son paralelas, entonces toda perpendicular a una también es perpendicular a la otra	x es paralela a y	z es perpendicular a x					z es perpendicular a y						31	Si dos rectas son paralelas,	98	entonces toda perpendicular a una también es perpendicular a la otra
Definición de rectángulo	Si un cuadrilátero tiene 4 ángulos rectos entonces es un rectángulo	<XYZ=90°	<YZW=90°	<ZWX=90°	<WXY=90°			XYZW es rectángulo						44	Si un cuadrilátero tiene 4 ángulos rectos	68	entonces es un rectángulo
Definición de rectas perpendiculares	Si dos rectas son perpendiculares entonces forman ángulos rectos	XY es perpendicular a YZ						<XYZ=90°						36	Si dos rectas son perpendiculares	65	entonces forman ángulos rectos
Definición de rectas perpendiculares	Si un ángulo es recto, entonces sus lados están sobre dos rectas perpendiculares	<XYZ=90°						XY es perpendicular a YZ						24	Si un ángulo es recto,	80	entonces sus lados están sobre dos rectas perpendiculares
Definición de círculo	Si dos puntos están sobre un mismo círculo, entonces equidistan del centro	X está sobre el círculo w	Y está sobre el círculo w	Z centro de w				XZ=YZ						45	Si dos puntos están sobre un mismo círculo,	74	entonces equidistan del centro
Definición de círculo	Si dos puntos equidistan de un tercero, entonces están sobre un mismo círculo con centro en el tercero	XZ=YZ						X está sobre w	Y está sobre w	Z centro de w				41	Si dos puntos equidistan de un tercero,	102	entonces están sobre un mismo círculo con centro en el tercero
Definición de bisectriz	Si YW es bisectriz del ángulo XYZ, entonces YW es interior al ángulo XYZ y el ángulo XYW es igual al ángulo WYZ	YW es bisectriz de <XYZ						YW es interior a <XYZ	<XYW=<WYZ					36	Si YW es bisectriz del ángulo XYZ,	111	entonces YW es interior al ángulo XYZ y el ángulo XYW es igual al ángulo WYZ
Definición de bisectriz	Si YW es interior al ángulo XYZ y el ángulo XYW es igual al ángulo WYZ, entonces YW es bisectriz del ángulo XYZ	YW es interior a <XYZ	<XYW=<WYZ					YW es bisectriz de <XYZ						73	Si YW es interior al ángulo XYZ y el ángulo XYW es igual al ángulo WYZ,	111	entonces YW es bisectriz del ángulo XYZ
Definición de punto medio	Si Z es punto medio de XY, entonces Z está sobre XY y XZ=ZY	Z es punto medio de XY						Z está sobre XY	XZ=YZ					28	Si Z es punto medio de XY,	59	entonces Z está sobre XY y XZ=ZY
Definición de punto medio	Si Z está sobre XY y XZ=ZY, entonces Z es punto medio de XY	Z está sobre XY	XZ=ZY					Z es punto medio de XY						29	Si Z está sobre XY y XZ=ZY,	59	entonces Z es punto medio de XY
Definición de mediatriz	Si una recta es mediatriz de un segmento, entonces es perpendicular al segmento y pasa por su punto medio	w es mediatriz de XY						w es perpendicular a XY	la intersección de w y XY es el punto medio de XY					43	Si una recta es mediatriz de un segmento,	105	entonces es perpendicular al segmento y pasa por su punto medio
Definición de mediatriz	Si una recta es perpendicular a un segmento y pasa por su punto medio, entonces es mediatriz del segmento	w es perpendicular a XY	w pasa por el punto medio de XY					w es mediatriz de XY						72	Si una recta es perpendicular a un segmento y pasa por su punto medio,	105	entonces es mediatriz del segmento
Definición de triángulo equilátero	Si un triángulo es equilátero, entonces todos sus lados son iguales	triángulo XYZ es equilátero						XY=YZ	YZ=XZ					32	Si un triángulo es equilátero,	67	entonces todos sus lados son iguales
Definición de triángulo equilátero	Si un triángulo tiene todos sus lados iguales entonces es equilátero	XY=YZ	XY=XZ	YZ=XZ				triángulo XY Z es equilátero						47	Si un triángulo tiene todos sus lados iguales	68	entonces es equilátero
Definición de triángulo isósceles	Si un triángulo es isósceles, entonces tiene dos lados iguales	triángulo XYZ es isósceles en Y						XY=YZ						31	Si un triángulo es isósceles,	62	entonces tiene dos lados iguales
Definición de triángulo isósceles	Si un triángulo tiene dos lados iguales entonces es isósceles	XY=YZ						triángulo XYZ es isósceles en Y						41	Si un triángulo tiene dos lados iguales	61	entonces es isósceles
Definición de triángulos congruentes	Si dos triángulos son congruentes entonces sus lados correspondientes y sus ángulos correspondientes son iguales	triángulo XYZ=triángulo UVW						XY=UV	XZ=UW	YZ=VW	<XYZ=<UVW	<YZX=<VWU	<ZXY=<WUV	35	Si dos triángulos son congruentes	112	entonces sus lados correspondientes y sus ángulos correspondientes son iguales
Definición de triángulos congruentes	Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes y sus ángulos correspondientes iguales, entonces son congruentes	XY=UV	YZ=VW	XZ=UW	<XYZ=<UVW	<YZX=<VWU	<ZXY=<WUV	triángulo XYZ=triángulo UVW						93	Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes y sus ángulos correspondientes iguales,	116	entonces son congruentes
Definición de ángulos complementarios	Si dos ángulos son complementarios entonces suman 90°	<XYZ y <UVW son complementarios						<XYZ+<UVW=90°						36	Si dos ángulos son complementarios	53	entonces suman 90°
Definición de ángulos complementarios	Si dos ángulos suman 90° entonces son complementarios	<XYZ+<UVW=90°						<XYZ y <UVW son complementarios						26	Si dos ángulos suman 90°	53	entonces son complementarios
Definición de ángulos suplementarios	Si dos ángulos son suplementarios entonces suman 180°	<XYZ y <UVW son suplementarios						<XYZ+<UVW=180°						35	Si dos ángulos son suplementarios	53	entonces suman 180°
Definición de ángulos suplementarios	Si dos ángulos suman 180° entonces son suplementarios	<XYZ+<UVW=180°						<XYZ y <UVW son suplementarios						27	Si dos ángulos suman 180°	53	entonces son suplementarios
Definición de par lineal	Si dos ángulos forman un par lineal entonces tienen un lado común y la unión de los otros dos lados es una recta	<XYZ y <ZYW son un par lineal						X,Y y W están alineados						37	Si dos ángulos forman un par lineal	112	entonces tienen un lado común y la unión de los otros dos lados es una recta
Definición de par lineal	Si dos ángulos tienen un lado común y la unión de los otros dos es una recta, entonces forman un par lineal	XYW están alineados						<XYZ y <ZYW son un par lineal						79	Si dos ángulos tienen un lado común y la unión de los otros dos es una recta,	107	entonces forman un par lineal
Definición de paralelogramo	Si un cuadrilátero es paralelogramo entonces tiene sus lados opuestos paralelos	WXYZ es paralelogramo						WX es paralela a YZ	XY es paralelo a WZ					37	Si un cuadrilátero es paralelogramo	79	entonces tiene sus lados opuestos paralelos
Definición de paralelogramo	Si un cuadrilátero tiene sus lados opuestos paralelos entonces es un paralelogramo	WX es paralela a YZ	WZ es paralela a XY					WXYZ es paralelogramo						55	Si un cuadrilátero tiene sus lados opuestos paralelos	82	entonces es un paralelogramo
Definición de rectángulo	Si un cuadrilátero es rectángulo entonces tiene cuatro ángulos rectos	XYZW es rectángulo						<XYZ=90°	<YZW=90°	<ZWX=90°	<WXY=90°			34	Si un cuadrilátero es rectángulo	69	entonces tiene cuatro ángulos rectos

Definición de rombo	Si un cuadrilátero es rombo entonces tiene todos sus lados iguales	WXYZ es rombo						WX=XY	WX=WZ	XY=YZ				29	Si un cuadrilátero es rombo	66	entonces tiene todos sus lados iguales
Definición de rombo	Si un cuadrilátero tiene sus cuatro lados iguales entonces es un rombo	WX=XY	YZ=WZ	WX=WZ	XY=YZ			WXYZ es rombo						51	Si un cuadrilátero tiene sus cuatro lados iguales	70	entonces es un rombo
Definición de cuadrado	Si un rectángulo tiene sus cuatro lados iguales entonces es un cuadrado	WXYZ es rectángulo	WX=XY	YZ=WZ	WX=WZ	XY=YZ		WXYZ es cuadrado						49	Si un rectángulo tiene sus cuatro lados iguales	71	entonces es un cuadrado
Definición de cuadrado	Si un cuadrilátero es cuadrado entonces es un rectángulo y tiene todos sus lados iguales	WXYZ es cuadrado						WXYZ es rectángulo	YZ=WZ	WX=WZ	XY=YZ			32	Si un cuadrilátero es cuadrado	88	entonces es un rectángulo y tiene todos sus lados iguales
Definición de radio	Si un segmento es radio de un círculo entonces sus extremos son el centro y un punto del círculo	XY es radio de w						X es centro de w	Y está sobre w					39	Si un segmento es radio de un círculo	96	entonces sus extremos son el centro y un punto del círculo
Definición de radio	Si un segmento tiene sus extremos en el centro y un punto de un círculo entonces es radio del círculo	X es centro de w	Y está sobre w					XY es radio de w						73	Si un segmento tiene sus extremos en el centro y un punto de un círculo	101	entonces es radio del círculo
Definición de cuerda	Si un segmento es una cuerda de un círculo entonces sus extremos están sobre el círculo	XY es cuerda de w						X está sobre w	Y está sobre w					44	Si un segmento es una cuerda de un círculo	87	entonces sus extremos están sobre el círculo
Definición de cuerda	Si un segmento tiene sus extremos sobre un círculo entonces es una cuerda de ese círculo	X está sobre w	Y está sobre w					XY es cuerda de w						52	Si un segmento tiene sus extremos sobre un círculo	88	entonces es una cuerda de ese círculo
Definición de diámetro	Si una cuerda es diámetro de un círculo entonces contiene el centro del círculo	XY es cuerda de w	XY es diámetro de w	Z es centro de w				Z pertenece a XY						41	Si una cuerda es diámetro de un círculo	79	entonces contiene el centro del círculo
Definición de diámetro	Si una cuerda contiene el centro del círculo entonces es diámetro	XY es cuerda de w	Z pertenece a XY	Z es centro de w				XY es diámetro de w						46	Si una cuerda contiene el centro del círculo	66	entonces es diámetro
Definición de recta tangente	Si una recta es tangente a un círculo entonces corta el círculo en un único punto	x (recta) es tangente a w (círculo)						la intersección de x y w es un único punto						39	Si una recta es tangente a un círculo	81	entonces corta el círculo en un único punto
Definición de recta tangente	Si una recta corta un círculo en un único punto entonces es tangente a ese círculo	la intersección de x y w es un único punto						x (recta) es tangente a w (círculo)						49	Si una recta corta un círculo en un único punto	82	entonces es tangente a ese círculo
Definición de recta secante	Si una recta es secante a un círculo entonces corta el círculo en dos puntos	x (recta) es secante a w (círculo)						X e Y son intersección de x y w						38	Si una recta es secante a un círculo	76	entonces corta el círculo en dos puntos
Definición de recta secante	Si una recta corta un círculo en dos puntos entonces es secante al círculo	X e Y son intersección de x y w						x (recta) es secante a w (círculo)						45	Si una recta corta un círculo en dos puntos	74	entonces es secante al círculo
Definición de ángulo inscrito	Si un ángulo es inscrito en un círculo entonces su vértice está sobre el círculo y sus lados contienen cuerdas del círculo	<XYZ es inscrito en w						Y está sobre w	YZ contiene una cuerda de w	XY contiene una cuerda de w				40	Si un ángulo es inscrito en un círculo	122	entonces su vértice está sobre el círculo y sus lados contienen cuerdas del círculo
Definición de ángulo inscrito	Si un ángulo tiene su vértice sobre el círculo y sus lados contienen cuerdas del círculo entonces es inscrito	Y está sobre w	XY contiene una cuerda de w	YZ contiene una cuerda de w				<XYZ es inscrito en w						91	Si un ángulo tiene su vértice sobre el círculo y sus lados contienen cuerdas del círculo	110	entonces es inscrito
Definición de ángulo central	Si un ángulo es central en un círculo entonces su vértice es el centro del círculo	<XYZ es central en w						Y es centro de w						39	Si un ángulo es central en un círculo	82	entonces su vértice es el centro del círculo
Definición de ángulo central	Si un ángulo tiene su vértice en el centro del círculo, entonces es central	Y es centro de w						<XYZ es central en w						57	Si un ángulo tiene su vértice en el centro del círculo,	75	entonces es central
Teorema 4.2 triángulo isósceles-mediana	Si XYZ es un triángulo isósceles entonces la mediana del lado desigual forma un par de triángulos congruentes	triángulo XYZ es isósceles	W es punto medio de XZ					WXY=WZY						34	Si XYZ es un triángulo isósceles	109	entonces la mediana del lado desigual forma un par de triángulos congruentes
Teorema 4.3 suma de ángulos iguales	Si <XYZ = <UVW, <ZYS=<WVT, el rayo YZ esta entre el rayo YX y el rayo YS, y el rayo VW está entre el rayo VU y el rayo VT, entonces <XYS= <UVT	<XYZ = <UVW	<ZYS=<WVT	el rayo YZ está entre el rayo YX y el rayo YS	el rayo VW está entre el rayo VU y el rayo VT			<XYS= <UVT						124	Si <XYZ = <UVW, <ZYS=<WVT, el rayo YZ esta entre el rayo YX y el rayo YS, y el rayo VW está entre el rayo VU y el rayo VT,	142	entonces <XYS= <UVT
Teorema 4.4 resta de segmentos iguales	Si XZ= WU, YZ=VU, Y está entre X y Z, y V está entre W y U entonces XY=WV	XZ= WU	YZ=VU	Y está entre X y Z	V está entre W y U			XY=WV						61	Si XZ= WU, YZ=VU, Y está entre X y Z, y V está entre W y U	74	entonces XY=WV
Teorema 4.5 suma de segmentos iguales	Si XY=WV, YZ=VU, Y está entre X y Z, y V está entre W y U, entonces XZ= WU	XY=WV	YZ=VU	Y está entre X y Z	V está entre W y U			XZ= WU						61	Si XY=WV, YZ=VU, Y está entre X y Z, y V está entre W y U,	75	entonces XZ= WU
Teorema 4.6 resta de ángulos iguales	Si m<XPZ=m<WQU, m<YPZ=m<VQU, el rayo PY está entre el rayo PX y el rayo PZ, y el rayo QV está entre el rayo QW el rayo QU, entonces m<XPY=m<WQV	m<XPZ=m<WQU	m<YPZ=m<VQU	el rayo PY está entre el rayo PX y el rayo PZ	el rayo QV está entre el rayo QW el rayo QU			m<XPY=m<WQV						124	Si m<XPZ=m<WQU, m<YPZ=m<VQU, el rayo PY está entre el rayo PX y el rayo PZ, y el rayo QV está entre el rayo QW el rayo QU,	143	entonces m<XPY=m<WQV
Teorema 4.7 teorema de los complemetos congruentes	Si dos ángulos son complementarios del mismo ángulo entonces son congruentes	<XYZ+<UVW=90°	<RST+<UVW=90°					<XYZ=<RST						53	Si dos ángulos son complementarios del mismo ángulo	76	entonces son congruentes
Teorema 4.7 teorema de los complemetos congruentes	Si dos ángulos son complementarios de ángulos congruentes entonces son congruentes	<XYZ+<UVW=90°	<RST+<OPQ=90°	<UVW=<OPQ				<XYZ=<RST						60	Si dos ángulos son complementarios de ángulos congruentes	83	entonces son congruentes
Teorema 4.8 teorema de los suplemetos congruentes	Si dos ángulos son suplementarios del mismo ángulo entonces son congruentes	<XYZ+<UVW=180°	<RST+<UVW=180°					<XYZ=<RST						53	Si dos ángulos son suplementarios del mismo ángulo	76	entonces son congruentes
Teorema 4.8 teorema de los suplemetos congruentes	Si dos ángulos son suplementarios de ángulos congruentes entonces son congruentes	<XYZ+<UVW=180°	<RST+<OPQ=180°	<UVW=<OPQ				<XYZ=<RST						58	Si dos ángulos son suplementarios de ángulos congruentes	81	entonces son congruentes
Teorema 4.9 teorema de los ángulos opuestos por el vértice	Si dos rectas se cortan, entonces los ángulos opuestos por el vértice son congruentes	XY y ZV se cortan en W						<XWZ=<YWV						26	Si dos rectas se cortan,	85	entonces los ángulos opuestos por el vértice son congruentes
Teorema 5.1 ángulos correspondientes iguales	Si dos rectas se cortan por una tranversal y un par de ángulos correpondientes son congruentes, entonces las rectas son paralelas	x corta a y	x corta a z	<XYZ y <UVW son correspondientes	<XYZ=<UVW			y es paralela a z						97	Si dos rectas se cortan por una tranversal y un par de ángulos correpondientes son congruentes,	130	entonces las rectas son paralelas
Teorema 5.2 ángulos alternos internos iguales	Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos alternos internos son congruentes, entonces las rectas son paralelas	x corta a y	x corta a z	<XYZ y <UVW son alternos internos	<XYZ=<UVW			y es paralela a z						100	Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos alternos internos son congruentes,	132	entonces las rectas son paralelas
Teorema 5.3 ángulos alternos externos iguales	Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos alternos externos son congruentes, entonces las rectas son paralelas	x corta a y	x corta a z	<XYZ y <UVW son alternos externos	<XYZ=<UVW			y es paralela a z						100	Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos alternos externos son congruentes,	132	entonces las rectas son paralelas
Teorema 5.4 ángulos internos del mismo lado suplementarios	Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos internos en el mismo lado de la transversal son suplementarios, entonces las rectas son paralelas.	x corta a y	x corta a z	<XYZ y <UVW son internos del mismo lado	<XYU+<YUW=180°			y es paralela a z						129	Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos internos en el mismo lado de la transversal son suplementarios,	162	entonces las rectas son paralelas.
Teorema 5.5 transitividad del paralelismo	Si x paralela a z y z paralela a w entonces x paralela a w	x paralela a z	z paralela a w					x paralela a w						36	Si x paralela a z y z paralela a w	58	entonces x paralela a w
Teorema 5.6 ángulos alternos internos entre paralelas	Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los ángulos alternos internos son congruentes	x paralela a y	z corta a x e y	<XYZ y <UVW son alternos internos				<XYZ=<UVW						56	Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal,	109	entonces los ángulos alternos internos son congruentes
Teorema 5.7 ángulos alternos externos entre paralelas	Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los ángulos alternos externos son congruentes	x paralela a y	z corta a x e y	<XYZ y <UVW son alternos externos				<XYZ=<UVW						56	Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal,	109	entonces los ángulos alternos externos son congruentes
Teorema 5.8 ángulos correspondientes entre paralelas	Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los ángulos correspondientes son congruentes	x paralela a y	z corta a x e y	<XYZ y <UVW son correspondientes				<XYZ=<UVW						56	Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal,	108	entonces los ángulos correspondientes son congruentes
Teorema 5.9 ángulos consecutivos entre paralelas	Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los ángulos internos del mismo lado de la transversal son suplementarios	x paralela a y	z corta a x e y	<XYZ y <UVW son internos del mismo lado				<XYZ+<UVW=180°						56	Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal,	136	entonces los ángulos internos del mismo lado de la transversal son suplementarios
Teorema 6.1 triángulo isósceles	Si un triángulo es isósceles, entonces los ángulos de su base son congruentes	triángulo XYZ es isósceles en Y						<YXZ=<YZX						31	Si un triángulo es isósceles,	77	entonces los ángulos de su base son congruentes
Teorema 6.2 triángulo equilátero -equiángulo	Si un triángulo es equilátero, entonces es equiángulo	XY=YZ	YZ=XZ	XY=XZ				<XYZ=<YZX	<ZXY=<XYZ					32	Si un triángulo es equilátero,	53	entonces es equiángulo
Teorema 6.3 triángulo isósceles	Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces los lados opuestos a estos ángulos son congruentes	<XYZ=<XZY						XY=XZ						49	Si dos ángulos de un triángulo son congruentes,	107	entonces los lados opuestos a estos ángulos son congruentes
Teorema 6.4 suma de ángulos de un triángulo	Si XYZ es triángulo, entonces la suma de sus ángulos internos es 180°	XYZ es triángulo						<XYZ+<XZY+<YXZ=180°						22	Si XYZ es triángulo,	69	entonces la suma de sus ángulos internos es 180°
Teorema 6.5 ángulos triángulo equilátero	Si un triángulo es equilátero, entonces sus ángulos miden 60°	XY=YZ	XZ=YZ	XY=XZ				<XYZ=60°	<YZX=60°	<ZXY=60°				32	Si un triángulo es equilátero,	61	entonces sus ángulos miden 60°
Teorema 6.6 ángulo exterior a un triángulo	Si un ángulo es exterior a un triángulo, entonces es igual a la suma de los dos ángulos interiores no contiguos	XYZ triángulo	W está sobre XY					<ZYW=<YXZ+<XZY						42	Si un ángulo es exterior a un triángulo,	111	entonces es igual a la suma de los dos ángulos interiores no contiguos
Teorema 6.7 LAA	Si en un triángulo, dos ángulos y un lado opuesto a uno de los ángulos son congruentes con dos ángulos y el lado correpondiente de un segundo triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes	<ZXY=<WUV	<XZY=<UWV	ZY=WV				triángulo XYZ = triángulo UVW						154	Si en un triángulo, dos ángulos y un lado opuesto a uno de los ángulos son congruentes con dos ángulos y el lado correpondiente de un segundo triángulo,	196	entonces los dos triángulos son congruentes
Teorema 6.8 teorema de la hipotenusa y el ángulo	Si la hipotenusa y un ángulo agudo de un triángulo rectángulo son congruentes con la hipotenusa y un ángulo agudo de otro triángulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes	XYZ rectángulo en Z	UVW rectángulo en W	XY=UV	<ZXY=<WUV			triángulo XYZ = triángulo UVW						145	Si la hipotenusa y un ángulo agudo de un triángulo rectángulo son congruentes con la hipotenusa y un ángulo agudo de otro triángulo rectángulo,	183	entonces los triángulos son congruentes
Teorema 6.9 teorema de la hipotenusa y el cateto	Si la hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo son congruentes con la hipotenusa y un cateto de otro triángulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes	triángulo XYZ rectángulo en Z	triángulo UVW rectángulo en W	XY=UV	XZ=UW			triángulo XYZ = triángulo UVW						133	Si la hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo son congruentes con la hipotenusa y un cateto de otro triángulo rectángulo,	171	entonces los triángulos son congruentes
Teorema 6.10 mediatriz	Si un punto Z equidista de un par de puntos X y Y, entonces Z está sobre la mediatriz del segmento XY.	XZ=YZ						Z está sobre la mediatriz de XY						52	Si un punto Z equidista de un par de puntos X y Y,	103	entonces Z está sobre la mediatriz del segmento XY.
Teorema 6.10 mediatriz	Si un punto está sobre la mediatriz de XY entonces equidista de X y Y	Z está sobre la mediatriz de XY						XZ=YZ						43	Si un punto está sobre la mediatriz de XY	69	entonces equidista de X y Y
Teorema 7.1 teorema de pitágoras	Si el triángulo XYZ es un triángulo rectángulo, entonces el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos	triángulo XYZ es rectángulo en Z						XZXZ+YZYZ=XY*XY						49	Si el triángulo XYZ es un triángulo rectángulo,	170	entonces el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos
Teorema 7.2 recíproco del teorema de pitágoras	Si el triángulo XYZ tiene lados de longitudes x, y, z, y z^2=x^2+y^2, entonces el triángulo XYZ es un triángulo rectángulo.	XZXZ+YZYZ=XY*XY						triángulo XYZ es rectángulo en Z						71	Si el triángulo XYZ tiene lados de longitudes x, y, z, y z^2=x^2+y^2,	123	entonces el triángulo XYZ es un triángulo rectángulo.
Teorema 7.5 mediatrices de un triángulo	Si tres rectas son mediatrices de un triángulo entonces se cortan en un punto equidistante de los tres vértices del triángulo	u es mediatriz de XY	v es mediatriz de XZ	w es mediatriz de YZ				u, v, w se cortan en un punto Q	QX=QY=QZ					48	Si tres rectas son mediatrices de un triángulo	125	entonces se cortan en un punto equidistante de los tres vértices del triángulo
Teorema 7.6 bisectrices de un triángulo	Si tres rectas son bisectrices de los ángulos de un triángulo, entonces se cortan en un punto equidistante de los lados del triángulo	u es bisectriz de <XYZ	v es bisectriz de <YZX	w es bisectriz de <ZXY				u, v, w se cortan en un punto Q	d(Q,XY)=d(Q,XZ)	d(Q,XZ)=d(Q,YZ)				64	Si tres rectas son bisectrices de los ángulos de un triángulo,	133	entonces se cortan en un punto equidistante de los lados del triángulo
Teorema 7.7 alturas de un triángulo	Si tres rectas contienen las alturas de un triángulo, entonces se cortan en un punto	x contiene una altura del triángulo XYZ	y contiene una altura del triángulo XYZ	z contiene una altura del triángulo XYZ				x, y, z son concurrentes en T						55	Si tres rectas contienen las alturas de un triángulo,	84	entonces se cortan en un punto
Teorema 7.8 medianas de un triángulo	Si tres segmentos son medianas de un triángulo entonces se cortan en un punto situado a dos tercios de una mediana	XU es mediana del triángulo XYZ	YV es mediana del triángulo XYZ	ZW es mediana del triángulo XYZ				XU, YV, ZW son concurrentes en T	TY=2/3YV					48	Si tres segmentos son medianas de un triángulo	114	entonces se cortan en un punto situado a dos tercios de una mediana
Teorema 7.9 medidas desiguales de un triángulo	Si las medidas de dos ángulos de un triángulo son desiguales, entonces la longitud del lado opuesto al ángulo menor es menor que la longitud del lado opuesto al ángulo mayor.	<XYZ es menor que <XZY						XZ < YX						63	Si las medidas de dos ángulos de un triángulo son desiguales,	175	entonces la longitud del lado opuesto al ángulo menor es menor que la longitud del lado opuesto al ángulo mayor.
Teorema 7.10 medidas desiguales de un triángulo	Si las longitudes de dos lados de un triángulo son desiguales, entonces la medida del ángulo opuesto al lado más corto es menor que la medida del ángulo opuesto al lado más largo	XZ < YX						<XYZ es menor que <XZY						64	Si las longitudes de dos lados de un triángulo son desiguales,	179	entonces la medida del ángulo opuesto al lado más corto es menor que la medida del ángulo opuesto al lado más largo
Teorema 8.1 ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales	Si un cuadrilátero es paralelogramo entonces sus ángulos opuestos son iguales	XYZW es paralelogramo						<XYZ=<ZWX						37	Si un cuadrilátero es paralelogramo	77	entonces sus ángulos opuestos son iguales
Teorema 8.2 lados opuestos de un paralelogramo son iguales	Si un cuadrilátero es paralelogramo entonces sus lados opuestos son iguales	XYZW es paralelogramo						XY=ZW	YZ=XW					37	Si un cuadrilátero es paralelogramo	75	entonces sus lados opuestos son iguales
Teorema 8.3 ángulos adyacentes de un paralelogramo	Si un cuadrilátero es paralelogramo entonces sus ángulos adyacentes son suplementarios	XYZW es paralelogramo						<XYZ+<YZW=180						37	Si un cuadrilátero es paralelogramo	86	entonces sus ángulos adyacentes son suplementarios
Teorema 8.4 lados opuestos de un paralelogramo	Si los lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo	XY=ZW	XW=YZ					XYZW es paralelogramo						59	Si los lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes,	102	entonces el cuadrilátero es un paralelogramo
Teorema 8.5 lados opuestos de un paralelogramo	Si un cuadrilátero tiene un par de lados opuestos paralelos y congruentes, entonces es un paralelogramo	XY=ZW	XY paralelo a ZW					XYZW es paralelogramo						76	Si un cuadrilátero tiene un par de lados opuestos paralelos y congruentes,	103	entonces es un paralelogramo
Teorema 8.6 ángulos opuestos de un paralelogramo	Si los ángulos opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo	<XYZ=<ZWX	<YZW=<WXY					XYZW es paralelogramo						61	Si los ángulos opuestos de un cuadrilátero son congruentes,	104	entonces el cuadrilátero es un paralelogramo
Teorema 8.7 teorema del segmento medio	Si un segmento une los puntos medios de dos lados de un triángulo entonces es paralelo al tercer lado y tiene la mitad de su longitud	W es punto medio de XY	V es punto medio de XZ					VW es paralelo a YZ	VW=YZ/2					67	Si un segmento une los puntos medios de dos lados de un triángulo	133	entonces es paralelo al tercer lado y tiene la mitad de su longitud
Teorema 8.8 puntos medios de un cuadrilátero	Si un cuadrilátero está formado por los puntos medios de otro cuadrilátero, entonces es un paralelogramo	S es punto medio de XY	T es punto medio de YZ	U es punto medio de ZW	V es punto medio de WX			STUV es un paralelogramo						77	Si un cuadrilátero está formado por los puntos medios de otro cuadrilátero,	104	entonces es un paralelogramo
Teorema 8.9 diagonales de un rectángulo	Si un paralelogramo tiene sus diagonales iguales entonces es un rectángulo	XYZW es paralelogramo	XZ=YW					XYZW es un rectángulo						50	Si un paralelogramo tiene sus diagonales iguales	74	entonces es un rectángulo
Teorema 8.9 diagonales de un rectángulo	Si un cuadrilátero es rectángulo entonces sus diagonales son iguales	XYZW es rectángulo						XZ=YW						34	Si un cuadrilátero es rectángulo	68	entonces sus diagonales son iguales
Teorema 8.10 diagonales de un rombo	Si un paralelogramo tiene sus diagonales perpendiculares entonces es un rombo	XYZW es paralelogramo	XZ perpendicular a YW					XYZW es un rombo						58	Si un paralelogramo tiene sus diagonales perpendiculares	77	entonces es un rombo
Teorema 8.10 diagonales de un rombo	Si un cuadrilátero es un rombo entonces sus diagonales son perpendiculares	XYZW es un rombo						XZ perpendicular a YW						32	Si un cuadrilátero es un rombo	74	entonces sus diagonales son perpendiculares
Teorema 8.11 diagonales de un rombo	Si en un paralelogramo cada diagonal biseca un par de ángulos opuestos entonces es un rombo	XYZW es paralelogramo	XZ biseca a YZW	XZ biseca a WXY	YW biseca a ZWX	YW biseca a XYZ		XYZW es un rombo						72	Si en un paralelogramo cada diagonal biseca un par de ángulos opuestos	92	entonces es un rombo
Teorema 8.11 diagonales de un rombo	Si un cuadrilátero es un rombo entonces cada diagonal biseca un par de ángulos opuestos	XYZW es un rombo						XZ biseca a YZW	XZ biseca a WXY	YW biseca a ZWX	YW biseca a XYZ			33	Si un cuadrilátero es un rombo	88	entonces cada diagonal biseca un par de ángulos opuestos
Teorema 8.12 segmento medio de un trapecio	Si un segmento une los puntos medios de los dos lados no paralelos de un trapecio entonces es paralelo a las dos bases y su longitud es igual a la semisuma de las longitudes de las bases	XYZW es un trapecio	XY no es paralelo a ZW	U es punto medio de ZW	V es punto medio de XY			UV es paralelo a XW	UV=(XW+YZ)/2					83	Si un segmento une los puntos medios de los dos lados no paralelos de un trapecio	187	entonces es paralelo a las dos bases y su longitud es igual a la semisuma de las longitudes de las bases
Teorema 8.13 trapecio isósceles	Si un trapecio es isósceles entonces los ángulos de la base y las diagonales son congruentes	XYZW es un trapecio	XY no es paralelo a ZW	XY=ZW				<XYZ=<YZW	XZ=YW					29	Si un trapecio es isósceles	92	entonces los ángulos de la base y las diagonales son congruentes
Teorema 8.14 suma de ángulos de un polígono convexo	Si un polígono de n lados es convexo entonces la suma de sus ángulos es (n-2)180	x es un polígono convexo de n lados						la suma de sus ángulos es (n-2)180°						38	Si un polígono de n lados es convexo	81	entonces la suma de sus ángulos es (n-2)180
Teorema 8.15 ángulos de un polígono regular	Si un polígono de n lados es regular entonces la medida de cada uno de sus ángulos es 180° (n-2)/n	x es un polígono regular de n lados						la medida de cada uno de sus ángulos es (n-2)180°/n						38	Si un polígono de n lados es regular	98	entonces la medida de cada uno de sus ángulos es 180° (n-2)/n
Teorema 8.16 suma ángulos exteriores de un polígono	Si una figura es un polígono entonces la suma de sus ángulos exteriores es 360°	x es un polígono						la suma de sus ángulos exteriores es 360°						30	Si una figura es un polígono	80	entonces la suma de sus ángulos exteriores es 360°
Teorema 9.1 proporciones	Si a/b =c/d entonces ad=bc	x/y =z/w						xw=yz						13	Si a/b =c/d	26	entonces ad=bc
Teorema 9.2 proporciones	Si a/b=c/d entonces [(a+b)/b]=[(c+d)/d]	x/y=z/w						[(x+y)/y]=[(z+w)/w]						12	Si a/b=c/d	39	entonces [(a+b)/b]=[(c+d)/d]
Teorema 9.3 proporciones	Si (a/b)=(c/d) entonces [(a-b)/b]=[(c-d)/d]	(x/y)=(z/w)						[(x-y)/y]=[(z-w)/w]						16	Si (a/b)=(c/d)	43	entonces [(a-b)/b]=[(c-d)/d]
Teorema 9.4 proporciones	Si (a/b) =(c/d) entonces (a/c)=(b/d)	(x/y) =(z/w)						(x/z)=(y/w)						17	Si (a/b) =(c/d)	36	entonces (a/c)=(b/d)
Teorema 9.5 proporciones	Si ad=bc, entonces (a/b)=(c/d)	xw=yz						(x/y)=(z/w)						11	Si ad=bc,	30	entonces (a/b)=(c/d)
Teorea 9.6 recta paralela a un lado de un triángulo	Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca a los otros dos lados, entonces divide a éstos proporcionalmente	x paralela a YZ	x corta a XY en U	x corta a XZ en V				XU/XV=UY/VZ						82	Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca a los otros dos lados,	122	entonces divide a éstos proporcionalmente
Teorema 9.7 recta paralela a un lado de un triángulo	Si una recta interseca a dos lados de un triángulo y los divide proporcionalmente, entonces la recta es paralela al tercer lado	x corta a XY en U	x corta a XZ en V	XU/XV=UY/VZ				x paralela a YZ						84	Si una recta interseca a dos lados de un triángulo y los divide proporcionalmente,	127	entonces la recta es paralela al tercer lado
Teorema 9.8 teorema de la semejanza AA	Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, con dos ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes	<XYZ=<UVW	<YZX=<VWU					triángulo XYZ es semejante al triángulo UVW						84	Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, con dos ángulos de otro triángulo,	121	entonces los triángulos son semejantes
Teorema 9.9 semejanza de triángulos rectángulos	Si un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es congruente con un ángulo agudo de otro triángulo rectángulo entonces los triángulos son semejantes	triángulo XYZ es rectángulo en Z	triángulo UVW es rectángulo en W	<XYZ=<UVW				el triángulo XYZ y el triángulo UVW son semejantes						110	Si un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es congruente con un ángulo agudo de otro triángulo rectángulo	147	entonces los triángulos son semejantes
Teorema 9.10 altura de un triángulo rectángulo	Si un triángulo es rectángulo entonces la longitud de la altura de la hipotenusa es la media geométrica entre las longitudes de los dos segmentos de la hipotenusa	triángulo XYZ es rectángulo en Z	ZW es altura de XYZ					ZWZW=XWYW						31	Si un triángulo es rectángulo	162	entonces la longitud de la altura de la hipotenusa es la media geométrica entre las longitudes de los dos segmentos de la hipotenusa
Teorema 9.11 media geométrica catetos de un triángulo rectángulo	Si un triángulo es rectángulo entonces cada cateto es la media geométrica entre la hipotenusa y su proyección sobre la hipotenusa	triángulo XYZ es rectángulo en Z	ZW es altura de XYZ					XZ2=XY*XW						31	Si un triángulo es rectángulo	130	entonces cada cateto es la media geométrica entre la hipotenusa y su proyección sobre la hipotenusa
Teorema 9.12 teorema de la semejanza LLL	Si los tres lados de un triángulo son proporcionales a los tres lados de otro triángulo, entonces los dos triángulos son semejantes	XY/UV=YZ/VW=XZ/UW						el triángulo XYZ y el triángulo UVW son semejantes						90	Si los tres lados de un triángulo son proporcionales a los tres lados de otro triángulo,	131	entonces los dos triángulos son semejantes
Teorema 9.13 teorema de la semejanza LAL	Si un ángulo de un triángulo es congruente con un ángulo de otro triángulo y si los lados correspondientes que incluyen al ángulo son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes	<XYZ=<UVW	XY/UV=YZ/VW					el triángulo XYZ y el triángulo UVW son semejantes						151	Si un ángulo de un triángulo es congruente con un ángulo de otro triángulo y si los lados correspondientes que incluyen al ángulo son proporcionales,	188	entonces los triángulos son semejantes
Teorema 10.1 cuerdas congruentes	Si x es un círculo, entonces las cuerdas congruentes tienen arcos menores congruentes	x es un círculo	XY es una cuerda	XUY es un arco menor	ZW es una cuerda	ZVW es un arco menor	XY=ZW	XUY=ZVW						21	Si x es un círculo,	85	entonces las cuerdas congruentes tienen arcos menores congruentes
Teorema 10.1 cuerdas congruentes	Si dos círculos son congruentes entonces sus cuerdas congruentes tienen arcos menores congruentes	círculo x=círculo y	XY es una cuerda de x	XUY es un arco menor	ZW es una cuerda de y	ZVW es un arco menor	XY=ZW	XUY=ZVW						33	Si dos círculos son congruentes	97	entonces sus cuerdas congruentes tienen arcos menores congruentes
Teorema 10.2 cuerdas congruentes	Si dos arcos menores de un círculo son congruentes entonces sus cuerdas son congruentes	XYZ es un arco menor de x	UVW es un arco menor de x	XYZ=UVW				XY=UW						52	Si dos arcos menores de un círculo son congruentes	87	entonces sus cuerdas son congruentes
Teorema 10.2 cuerdas congruentes	Si dos arcos menores de dos círculos congruentes son congruentes entonces sus cuerdas son congruentes	circulo x =círculo y	XYZ es un arco menor de x	UVW es un arco menor de y				XY=UW						66	Si dos arcos menores de dos círculos congruentes son congruentes	101	entonces sus cuerdas son congruentes
Teorema 10.3 cuerdas congruentes equidistan del centro	Si dos cuerdas de un círculo son congruentes entonces equidistan del centro	W es centro de w	X está sobre w	Y está sobre w	Z está sobre w	V está sobre w	XY=ZV	d(XY,W)=d(ZV,W)						46	Si dos cuerdas de un círculo son congruentes	75	entonces equidistan del centro
Teorema 10.3 cuerdas congruentes	Si dos cuerdas de dos círculos congruentes son congruentes, entonces equidistan de los centros	W es centro de w	U es centro de u	w=u	XY es cuerda de w	TV es cuerda de u	XY=TV	d(XY,W)=d(TV,U)						61	Si dos cuerdas de dos círculos congruentes son congruentes,	94	entonces equidistan de los centros
Teorema 10.4 cuerdas que equidistan del centro	Si dos cuerdas equidistan del centro de un círculo entonces son congruentes	XY es cuerda de w	UV es cuerda de w	W es centro de w	d(XY,W)=d(UV,W)			XY=UV						52	Si dos cuerdas equidistan del centro de un círculo	75	entonces son congruentes
Teorema 10.4 cuerdas que equidistan	Si dos cuerdas de dos círculos congruentes equidistan de los centros, entonces son congruentes	W es centro de w	U es centro de u	w=u	XY es cuerda de w	TV es cuerda de u	d(XY,W)=d(TV,U)	XY=TV						71	Si dos cuerdas de dos círculos congruentes equidistan de los centros,	94	entonces son congruentes
Teorema 10.5 mediatriz de una cuerda	Si una recta es mediatriz de una cuerda de un círculo entonces contiene al centro del círculo	x es mediatriz de YZ	Y está sobre w	Z está sobre w	V es centro de w			x pasa por V						55	Si una recta es mediatriz de una cuerda de un círculo	93	entonces contiene al centro del círculo
Teorema 10.6 bisectriz de una cuerda	Si una recta que pasa por el centro de un círculo es perpendicular a una cuerda que no es un diámetro, entonces biseca a la cuerda	x pasa por W	W centro de w	XY es una cuerda de w	XY no pasa por W	x es perpendicular a XY	Z es intersección de x y XY	XZ=ZY						104	Si una recta que pasa por el centro de un círculo es perpendicular a una cuerda que no es un diámetro,	131	entonces biseca a la cuerda
Teorema 10.7 bisectriz de una cuerda	Si una recta que pasa por el centro de un círculo biseca a una cuerda que no es un diámetro, entonces es perpendicular a la cuerda	x pasa por W	W centro de w	XY es una cuerda de w	XY no pasa por W	Z es intersección de x y XY	XZ=ZY	x es perpendicular a XY						94	Si una recta que pasa por el centro de un círculo biseca a una cuerda que no es un diámetro,	130	entonces es perpendicular a la cuerda
Teorema 10.8 recta tangente a un círculo	Si una recta es perpendicular a un radio en un punto del círculo, entonces la recta es tangente al círculo	x es perpendicular a YZ por Z	Y es centro de w	Z está sobre w				x es tangente a w						67	Si una recta es perpendicular a un radio en un punto del círculo,	106	entonces la recta es tangente al círculo
Teorema 10.9 recta tangente a un círculo	Si una recta es tangente a un círculo, entonces el radio trazado hasta el punto de contacto es perpendicular a la tangente	x es tangente a w	Z es punto de tangencia	Y es centro de w				x es perpendicular a YZ por Z						40	Si una recta es tangente a un círculo,	122	entonces el radio trazado hasta el punto de contacto es perpendicular a la tangente
Teorema 10.10 recta tangente	Si una recta es perpendicular a una tangente en un punto del círculo, entonces la recta contiene al centro del círculo	x es tangente al círculo w	Z es punto de tangencia	Y es centro de w	y es perpendicular a x por Z			y pasa por Y						71	Si una recta es perpendicular a una tangente en un punto del círculo,	118	entonces la recta contiene al centro del círculo
Teorema 10.11 segmentos tangentes desde un punto exterior	Si dos segmentos son tangentes a un círculo desde un punto exterior entonces son congruentes y forman ángulos congruentes con la recta que une el centro con el punto	W es centro de w	X es exterior a w	Y está sobre w	Z está sobre w	XY es tangente a w	XZ es tangente a w	XY=XZ	<WXY=<WXZ					69	Si dos segmentos son tangentes a un círculo desde un punto exterior	165	entonces son congruentes y forman ángulos congruentes con la recta que une el centro con el punto
Teorema 10.12 ángulo inscrito	Si un ángulo es inscrito en un círculo entonces es la mitad de su arco interceptado	X está sobre w	Y está sobre w	Z está sobre w	V es centro de w			<XYZ=(<XVZ)/2						40	Si un ángulo es inscrito en un círculo	83	entonces es la mitad de su arco interceptado
Teorema 10.13 un ángulo inscrito en un semicírculo	Si un ángulo está inscrito en un semicírculo entonces es un ángulo recto	XY es diámetro de w	Z está sobre w					<XZY es recto						46	Si un ángulo está inscrito en un semicírculo	72	entonces es un ángulo recto
Teorema 10.14 cuerdas que se cortan en el interior de un círculo	Si un ángulo está formado por dos cuerdas que se cortan en el interior de un círculo entonces es igual a la semisuma de los arcos interceptados	XY es cuerda de w	UV es cuerda de w	W es centro de w	T es intersección de XY y UV			<XTU=(<XWU+<YWV)/2						86	Si un ángulo está formado por dos cuerdas que se cortan en el interior de un círculo	143	entonces es igual a la semisuma de los arcos interceptados
Teorema 10.15 ángulo formado por una cuerda y una tangente a un círculo	Si un ángulo está formado por una tangente a un circulo y una cuerda con extremo en el punto de tangencia entonces mide la mitad del arco interceptado	la recta XY es tangente al círculo w en Y	YZ es cuerda de w					<XYZ=(la medida del arco YZ)/2						107	Si un ángulo está formado por una tangente a un circulo y una cuerda con extremo en el punto de tangencia	150	entonces mide la mitad del arco interceptado
Teorema 10.16 tangentes a un mismo círculo	Si un ángulo está formado por dos tangentes a un mismo círculo, entonces mide la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados	la recta XZ es tangente al círculo w en X	la recta YZ es tangente al círculo w en Y					<XZY=(la medidada del arco mayor XY - la medidada del arco menor XY)/2						65	Si un ángulo está formado por dos tangentes a un mismo círculo,	145	entonces mide la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados
Teorema 10.17 secante y tangente a un círculo desde un punto exterior	Si un ángulo está formado por una tangente y una secante a un círculo desde un punto exterior entonces mide la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados	la recta VZ es tangente al círculo w en Z	la recta x pasa por V	la recta x y el círculo w se cortan en X y Y				<XVZ=\|la medida del arco XZ -la medida del arco YZ\|/2						95	Si un ángulo está formado por una tangente y una secante a un círculo desde un punto exterior	175	entonces mide la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados
Teorema 10.17 secantes a un círculo desde un punto exterior	Si un ángulo está formado por dos secantes a un círculo desde un punto exterior entonces mide la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados	V es exterior a w	los puntos X,Y,Z y U están sobre w	la recta XY y la recta ZU se cortan en V	<XVU es el ángulo entre XY y ZU			<XVU=\| la medida del arco XU - la medida del arco YZ \|/2						81	Si un ángulo está formado por dos secantes a un círculo desde un punto exterior	161	entonces mide la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados
Teorema 10.18 segmento secante y tangente a un círculo desde un punto exterior	Si un segmento tangente y uno secante a un círculo tienen un extremo común exterior al círculo, entonces el cuadrado de la longitud del segmento tangente es igual al producto de las longitudes del segmento secante por su segmento secante externo	X está sobre el círculo w	V es exterior a w	XV es secante al círculo w	Z es intersección de XV y el círculo w	YV es tangente al círculo w en Y		(YV)(YV)=(XV)(ZV)						97	Si un segmento tangente y uno secante a un círculo tienen un extremo común exterior al círculo,	245	entonces el cuadrado de la longitud del segmento tangente es igual al producto de las longitudes del segmento secante por su segmento secante externo
Teorema 10.19 cuerdas que se cortan en el interior de un círculo	Si dos cuerdas se intersecan en un circulo, entonces el producto de las longitudes de los segmentos de una cuerda es igual al producto de las longitudes de los segmentos de la segunda cuerda	los puntos X,Y,Z y U están sobre w	XY es cuerda de w	ZU es cuerda de w	V es intersección de XY y ZU			XVVY=ZVVU						45	Si dos cuerdas se intersecan en un circulo,	190	entonces el producto de las longitudes de los segmentos de una cuerda es igual al producto de las longitudes de los segmentos de la segunda cuerda
Teorema 10.20 secantes a un círculo desde un punto exterior	Si dos segmentos secantes a un círculo tienen un extremo común exterior al círculo entonces el producto de las longitudes de un segmento secante y su segmento secante externo es igual al producto de las longitudes del otro segmento secante y su segmento secante externo	los puntos X,Y,Z y U están sobre w	V es exterior a w	V es intersección de la recta XY y la recta ZU				XVYV)=ZVUV						84	Si dos segmentos secantes a un círculo tienen un extremo común exterior al círculo	269	entonces el producto de las longitudes de un segmento secante y su segmento secante externo es igual al producto de las longitudes del otro segmento secante y su segmento secante externo
Postulado de la congruencia LAL	Si dos lados y el ángulo comprendido de un triángulo son respectivamente congruentes con dos lados y el ángulo comprendido de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes	XY=UV	YZ=VW	<XYZ=<UVW				los triángulos XYZ y UVW son congruentes						143	Si dos lados y el ángulo comprendido de un triángulo son respectivamente congruentes con dos lados y el ángulo comprendido de otro triángulo,	185	entonces los dos triángulos son congruentes
Postulado de la congruencia ALA	Si dos ángulos y el lado comprendido de un triángulo son respectivamente congruentes con dos ángulos y el lado comprendido de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes	<XYZ=<UVW	<YZX=<VWU	YZ=VW				los triángulos XYZ y UVW son congruentes						143	Si dos ángulos y el lado comprendido de un triángulo son respectivamente congruentes con dos ángulos y el lado comprendido de otro triángulo,	185	entonces los dos triángulos son congruentes
Postulado de la congruencia LLL	Si los tres lados de un triángulo son respectivamente congruentes con los tres lados de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes	XY=UV	YZ=VW	XZ=UW				los triángulos XYZ y UVW son congruentes						105	Si los tres lados de un triángulo son respectivamente congruentes con los tres lados de otro triángulo,	147	entonces los dos triángulos son congruentes
Postulado par lineal	Si dos ángulos forman un par lineal, entonces son suplementarios	<XYZ y <ZYW forman un par lineal						<XYZ+<ZYW=180°						38	Si dos ángulos forman un par lineal,	65	entonces son suplementarios
Postulado de la desigualdad del triángulo	Si una figura es un triángulo, entonces la suma de las longitudes de dos lados es mayor que la longitud del tercer lado	XYZ es un triángulo						XY+YZ>XZ						32	Si una figura es un triángulo,	119	entonces la suma de las longitudes de dos lados es mayor que la longitud del tercer lado
Postulado semejanza AAA	Si tres ángulos de un triángulo son congruentes con los tres ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes	<XYZ=<UVW	<YZX=<VWU	<ZXY=<WUV				el triángulo XYZ es semejante al triángulo UVW						89	Si tres ángulos de un triángulo son congruentes con los tres ángulos de otro triángulo,	126	entonces los triángulos son semejantes
Postulado de la suma de arcos	Si Z está en el arco XY, entonces la medida del arco XZ más la medida del arco ZY es igual a la medida del arco XY	Z esta en el arco XY						la medida del arco XZ más la medida del arco ZY es igual a la medida del arco XY						26	Si Z está en el arco XY,	114	entonces la medida del arco XZ más la medida del arco ZY es igual a la medida del arco XY
Definición de polígono regular	Si un polígono es regular entonces tiene sus ángulos iguales y sus lados iguales	x es un polígono regular						x tiene sus lados iguales	x tiene sus ángulos iguales					27	Si un polígono es regular	81	entonces tiene sus ángulos iguales y sus lados iguales
Definición de polígono regular	Si un polígono tiene sus ángulos iguales y sus lados iguales entonces es un polígono regular	x tiene sus lados iguales	x tiene sus ángulos iguales					x es un polígono regular						62	Si un polígono tiene sus ángulos iguales y sus lados iguales	92	entonces es un polígono regular
Transitividad de la igualdad	Si x=y y y=z entonces x=z	x=y	y=z					x=z						14	Si x=y y y=z	25	entonces x=z
Postulado suma de áreas	Si una región poligonal es la unión de n regiones poligonales que no se solapan entonces su área es la suma de las áreas de las n regiones	la región poligonal S es la unión de las regiones poligonales S1,...,Sn						A(S)=A(S1)+…+A(Sn)						81	Si una región poligonal es la unión de n regiones poligonales que no se solapan	139	entonces su área es la suma de las áreas de las n regiones
Postulado del área del rectángulo	Si un rectángulo tiene longitud b y ancho w entonces su área está dada por la fórmula bw	el rectángulo x tiene longitud b	el rectángulo x tiene ancho w					A(x)=bw						45	Si un rectángulo tiene longitud b y ancho w	88	entonces su área está dada por la fórmula bw
Teorema 11.1 área del paralelogramo	Si un paralelogramo tien altura h y base b entonces su área está dada por la fórmula bh	el paralelogramo x tiene altura h	el paralelogramo x tiene base b					A(x)=bh						44	Si un paralelogramo tien altura h y base b	88	entonces su área está dada por la fórmula bh
Definición de triángulo rectángulo	Si un triángulo es rectángulo entonces tiene un ángulo recto	el triángulo XYZ es rectángulo en Y						<XYZ=90°						31	Si un triángulo es rectángulo	60	entonces tiene un ángulo recto
Definición de triángulo rectángulo	Si un triángulo tiene un ángulo recto entonces es rectángulo	<XYZ=90°						el triángulo XYZ es rectángulo en Y						39	Si un triángulo tiene un ángulo recto	60	entonces es rectángulo
Definición de trapecio	Si un cuadrilátero es un trapecio entonces tiene exactamente un par de lados opuestos paralelos	XYZW es un trapecio						XY es paralelo a ZW o YZ es paralelo a XW						35	Si un cuadrilátero es un trapecio	95	entonces tiene exactamente un par de lados opuestos paralelos
Definición de trapecio	Si un cuadrilátero tiene exactamente un par de lados opuestos paralelos entonces es un trapecio	XY es paralelo a ZW						XYZW es un trapecio						73	Si un cuadrilátero tiene exactamente un par de lados opuestos paralelos	95	entonces es un trapecio
Teorema 11.2 área del triángulo	Si un triángulo tiene base b y altura correspondiente h entonces su área está dada por la formula bh/2	el triángulo x tiene base b	el triángulo x tiene altura h					A(x)=bh/2						57	Si un triángulo tiene base b y altura correspondiente h	102	entonces su área está dada por la formula bh/2
Teorea 11.3 fórmula de Herón	Si un triángulo tiene lados de longitudes a, b, c y perímetro 2s entonces su área satisface la igualdad [A(x)]^2=s(s-a)(s-b)(s-c)	el triángulo x tiene lados de longitudes a,b,c	el triángulo x tiene perímetro 2s					[A(x)]^2=s(s-a)(s-b)(s-c)						66	Si un triángulo tiene lados de longitudes a, b, c y perímetro 2s	129	entonces su área satisface la igualdad [A(x)]^2=s(s-a)(s-b)(s-c)
Teorema 11.4 área del trapecio	Si un trapecio tiene bases de longitudes u y w y altura h entonces su área está dada por la fórmula h(u+w)/2	el trapecio x tiene bases u y w	el trapecio x tiene altura h					A(x)=h(u+w)/2						59	Si un trapecio tiene bases de longitudes u y w y altura h	108	entonces su área está dada por la fórmula h(u+w)/2
Teorema 11.5 área polígono regular	Si un polígono es regular con perímetro p y apotema de longitud a entonces su área está dada porla fórmula ap/2	x es un polígono regular	x tiene perímetro p	x tiene apotema de longitud a				A(x)=ap/2						67	Si un polígono es regular con perímetro p y apotema de longitud a	111	entonces su área está dada porla fórmula ap/2
Teorema 11.6 perímetros polígonos semejantes	Si dos polígonos son semejantes entonces la razón entre sus perímetros es igual a la razón entre las longitudes de cualquier par de lados correspondientes	x y y son polígonos semejantes	x tiene perímetro p1	y tiene perímetro p2	a y b son las longitudes de lados correspondientes de x y y respectivamente			p1/p2=a/b						33	Si dos polígonos son semejantes	154	entonces la razón entre sus perímetros es igual a la razón entre las longitudes de cualquier par de lados correspondientes
Teorema 11.7 áreas polígonos semejantes	Si dos polígonos son semejantes entonces la razón entre sus áreas es igual al cuadrado de la razón entre las longitudes de cualquier par de lados correspondientes	x y y son polígonos semejantes	x tiene área A1	y tiene área A2	a y b son las longitudes de lados correspondientes de x y y respectivamente			A1/A2=(a/b)^2
Teorema 11.8 razón entre perímetro y diámetro del círculo	Si x y y son dos círculos culesquiera con perímetros p1 y p2 y diámetros d1 y d2 respectivamente entonces p1/d1=p2/d2	x y y son círculos	x tiene perímetro p1	x tiene diámetro d1	y tiene perímetro p2	y tiene diámetro d2		p1/d1=p2/d2
Teorema 11.9 perímetro del círculo	Si un círculo tine radio r entonces su perímetro viene dado por la fórmula 2pr	el círclo x tiene radio r	x tiene perímetro p					p=2pr
Teorema 11.10	Si un círculo tiene radio r entonces su área viene dada por la fórmula pr^2	el círclo x tiene radio r						A(x)=pr^2

Nombre de la regla	Si-Entonces	ante1	ante2	ante3	ante4	ante5	ante6	conse1	conse2	conse3	conse4	conse5	conse6		Antecedente		Consecuente
Postulado de la hipótesis	Si una propiedad está declarada en la hipótesis entonces es verdadera	afirmación x está declarada en la construcción						afirmación x es verdadera						49	Si una propiedad está declarada en la hipótesis	69	entonces es verdadera
Postulado de la construcción	Si una propiedad está declarada en la construcción entonces es verdadera	afirmación x está declarada en la construcción						afirmación x es verdadera						52	Si una propiedad está declarada en la construcción	72	entonces es verdadera
Teorema1 perpendiculares y paralelas	Si dos rectas son perpendiculares al mismo objeto entonces son paralelas	x es perpendicular a z	y es perpendicular a z					x es paralela a y						52	Si dos rectas son perpendiculares al mismo objeto	74	entonces son paralelas
Teorema2 perpendiculares y paralelas	Si dos rectas son paralelas, entonces toda perpendicular a una también es perpendicular a la otra	x es paralela a y	z es perpendicular a x					z es perpendicular a y						31	Si dos rectas son paralelas,	98	entonces toda perpendicular a una también es perpendicular a la otra
Definición de rectángulo	Si un cuadrilátero tiene 4 ángulos rectos entonces es un rectángulo	<XYZ=90°	<YZW=90°	<ZWX=90°	<WXY=90°			XYZW es rectángulo						44	Si un cuadrilátero tiene 4 ángulos rectos	68	entonces es un rectángulo
Definición de rectas perpendiculares	Si dos rectas son perpendiculares entonces forman ángulos rectos	XY es perpendicular a YZ						<XYZ=90°						36	Si dos rectas son perpendiculares	65	entonces forman ángulos rectos
Definición de rectas perpendiculares	Si un ángulo es recto, entonces sus lados están sobre dos rectas perpendiculares	<XYZ=90°						XY es perpendicular a YZ						24	Si un ángulo es recto,	80	entonces sus lados están sobre dos rectas perpendiculares
Definición de círculo	Si dos puntos están sobre un mismo círculo, entonces equidistan del centro	X está sobre el círculo w	Y está sobre el círculo w	Z centro de w				XZ=YZ						45	Si dos puntos están sobre un mismo círculo,	74	entonces equidistan del centro
Definición de círculo	Si dos puntos equidistan de un tercero, entonces están sobre un mismo círculo con centro en el tercero	XZ=YZ						X está sobre w	Y está sobre w	Z centro de w				41	Si dos puntos equidistan de un tercero,	102	entonces están sobre un mismo círculo con centro en el tercero
Definición de bisectriz	Si YW es bisectriz del ángulo XYZ, entonces YW es interior al ángulo XYZ y el ángulo XYW es igual al ángulo WYZ	YW es bisectriz de <XYZ						YW es interior a <XYZ	<XYW=<WYZ					36	Si YW es bisectriz del ángulo XYZ,	111	entonces YW es interior al ángulo XYZ y el ángulo XYW es igual al ángulo WYZ
Definición de bisectriz	Si YW es interior al ángulo XYZ y el ángulo XYW es igual al ángulo WYZ, entonces YW es bisectriz del ángulo XYZ	YW es interior a <XYZ	<XYW=<WYZ					YW es bisectriz de <XYZ						73	Si YW es interior al ángulo XYZ y el ángulo XYW es igual al ángulo WYZ,	111	entonces YW es bisectriz del ángulo XYZ
Definición de punto medio	Si Z es punto medio de XY, entonces Z está sobre XY y XZ=ZY	Z es punto medio de XY						Z está sobre XY	XZ=YZ					28	Si Z es punto medio de XY,	59	entonces Z está sobre XY y XZ=ZY
Definición de punto medio	Si Z está sobre XY y XZ=ZY, entonces Z es punto medio de XY	Z está sobre XY	XZ=ZY					Z es punto medio de XY						29	Si Z está sobre XY y XZ=ZY,	59	entonces Z es punto medio de XY
Definición de mediatriz	Si una recta es mediatriz de un segmento, entonces es perpendicular al segmento y pasa por su punto medio	w es mediatriz de XY						w es perpendicular a XY	la intersección de w y XY es el punto medio de XY					43	Si una recta es mediatriz de un segmento,	105	entonces es perpendicular al segmento y pasa por su punto medio
Definición de mediatriz	Si una recta es perpendicular a un segmento y pasa por su punto medio, entonces es mediatriz del segmento	w es perpendicular a XY	w pasa por el punto medio de XY					w es mediatriz de XY						72	Si una recta es perpendicular a un segmento y pasa por su punto medio,	105	entonces es mediatriz del segmento
Definición de triángulo equilátero	Si un triángulo es equilátero, entonces todos sus lados son iguales	triángulo XYZ es equilátero						XY=YZ	YZ=XZ					32	Si un triángulo es equilátero,	67	entonces todos sus lados son iguales
Definición de triángulo equilátero	Si un triángulo tiene todos sus lados iguales entonces es equilátero	XY=YZ	XY=XZ	YZ=XZ				triángulo XY Z es equilátero						47	Si un triángulo tiene todos sus lados iguales	68	entonces es equilátero
Definición de triángulo isósceles	Si un triángulo es isósceles, entonces tiene dos lados iguales	triángulo XYZ es isósceles en Y						XY=YZ						31	Si un triángulo es isósceles,	62	entonces tiene dos lados iguales
Definición de triángulo isósceles	Si un triángulo tiene dos lados iguales entonces es isósceles	XY=YZ						triángulo XYZ es isósceles en Y						41	Si un triángulo tiene dos lados iguales	61	entonces es isósceles
Definición de triángulos congruentes	Si dos triángulos son congruentes entonces sus lados correspondientes y sus ángulos correspondientes son iguales	triángulo XYZ=triángulo UVW						XY=UV	XZ=UW	YZ=VW	<XYZ=<UVW	<YZX=<VWU	<ZXY=<WUV	35	Si dos triángulos son congruentes	112	entonces sus lados correspondientes y sus ángulos correspondientes son iguales
Definición de triángulos congruentes	Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes y sus ángulos correspondientes iguales, entonces son congruentes	XY=UV	YZ=VW	XZ=UW	<XYZ=<UVW	<YZX=<VWU	<ZXY=<WUV	triángulo XYZ=triángulo UVW						93	Si dos triángulos tienen sus lados correspondientes y sus ángulos correspondientes iguales,	116	entonces son congruentes
Definición de ángulos complementarios	Si dos ángulos son complementarios entonces suman 90°	<XYZ y <UVW son complementarios						<XYZ+<UVW=90°						36	Si dos ángulos son complementarios	53	entonces suman 90°
Definición de ángulos complementarios	Si dos ángulos suman 90° entonces son complementarios	<XYZ+<UVW=90°						<XYZ y <UVW son complementarios						26	Si dos ángulos suman 90°	53	entonces son complementarios
Definición de ángulos suplementarios	Si dos ángulos son suplementarios entonces suman 180°	<XYZ y <UVW son suplementarios						<XYZ+<UVW=180°						35	Si dos ángulos son suplementarios	53	entonces suman 180°
Definición de ángulos suplementarios	Si dos ángulos suman 180° entonces son suplementarios	<XYZ+<UVW=180°						<XYZ y <UVW son suplementarios						27	Si dos ángulos suman 180°	53	entonces son suplementarios
Definición de par lineal	Si dos ángulos forman un par lineal entonces tienen un lado común y la unión de los otros dos lados es una recta	<XYZ y <ZYW son un par lineal						X,Y y W están alineados						37	Si dos ángulos forman un par lineal	112	entonces tienen un lado común y la unión de los otros dos lados es una recta
Definición de par lineal	Si dos ángulos tienen un lado común y la unión de los otros dos es una recta, entonces forman un par lineal	XYW están alineados						<XYZ y <ZYW son un par lineal						79	Si dos ángulos tienen un lado común y la unión de los otros dos es una recta,	107	entonces forman un par lineal
Definición de paralelogramo	Si un cuadrilátero es paralelogramo entonces tiene sus lados opuestos paralelos	WXYZ es paralelogramo						WX es paralela a YZ	XY es paralelo a WZ					37	Si un cuadrilátero es paralelogramo	79	entonces tiene sus lados opuestos paralelos
Definición de paralelogramo	Si un cuadrilátero tiene sus lados opuestos paralelos entonces es un paralelogramo	WX es paralela a YZ	WZ es paralela a XY					WXYZ es paralelogramo						55	Si un cuadrilátero tiene sus lados opuestos paralelos	82	entonces es un paralelogramo
Definición de rectángulo	Si un cuadrilátero es rectángulo entonces tiene cuatro ángulos rectos	XYZW es rectángulo						<XYZ=90°	<YZW=90°	<ZWX=90°	<WXY=90°			34	Si un cuadrilátero es rectángulo	69	entonces tiene cuatro ángulos rectos

Definición de rombo	Si un cuadrilátero es rombo entonces tiene todos sus lados iguales	WXYZ es rombo						WX=XY	WX=WZ	XY=YZ				29	Si un cuadrilátero es rombo	66	entonces tiene todos sus lados iguales
Definición de rombo	Si un cuadrilátero tiene sus cuatro lados iguales entonces es un rombo	WX=XY	YZ=WZ	WX=WZ	XY=YZ			WXYZ es rombo						51	Si un cuadrilátero tiene sus cuatro lados iguales	70	entonces es un rombo
Definición de cuadrado	Si un rectángulo tiene sus cuatro lados iguales entonces es un cuadrado	WXYZ es rectángulo	WX=XY	YZ=WZ	WX=WZ	XY=YZ		WXYZ es cuadrado						49	Si un rectángulo tiene sus cuatro lados iguales	71	entonces es un cuadrado
Definición de cuadrado	Si un cuadrilátero es cuadrado entonces es un rectángulo y tiene todos sus lados iguales	WXYZ es cuadrado						WXYZ es rectángulo	YZ=WZ	WX=WZ	XY=YZ			32	Si un cuadrilátero es cuadrado	88	entonces es un rectángulo y tiene todos sus lados iguales
Definición de radio	Si un segmento es radio de un círculo entonces sus extremos son el centro y un punto del círculo	XY es radio de w						X es centro de w	Y está sobre w					39	Si un segmento es radio de un círculo	96	entonces sus extremos son el centro y un punto del círculo
Definición de radio	Si un segmento tiene sus extremos en el centro y un punto de un círculo entonces es radio del círculo	X es centro de w	Y está sobre w					XY es radio de w						73	Si un segmento tiene sus extremos en el centro y un punto de un círculo	101	entonces es radio del círculo
Definición de cuerda	Si un segmento es una cuerda de un círculo entonces sus extremos están sobre el círculo	XY es cuerda de w						X está sobre w	Y está sobre w					44	Si un segmento es una cuerda de un círculo	87	entonces sus extremos están sobre el círculo
Definición de cuerda	Si un segmento tiene sus extremos sobre un círculo entonces es una cuerda de ese círculo	X está sobre w	Y está sobre w					XY es cuerda de w						52	Si un segmento tiene sus extremos sobre un círculo	88	entonces es una cuerda de ese círculo
Definición de diámetro	Si una cuerda es diámetro de un círculo entonces contiene el centro del círculo	XY es cuerda de w	XY es diámetro de w	Z es centro de w				Z pertenece a XY						41	Si una cuerda es diámetro de un círculo	79	entonces contiene el centro del círculo
Definición de diámetro	Si una cuerda contiene el centro del círculo entonces es diámetro	XY es cuerda de w	Z pertenece a XY	Z es centro de w				XY es diámetro de w						46	Si una cuerda contiene el centro del círculo	66	entonces es diámetro
Definición de recta tangente	Si una recta es tangente a un círculo entonces corta el círculo en un único punto	x (recta) es tangente a w (círculo)						la intersección de x y w es un único punto						39	Si una recta es tangente a un círculo	81	entonces corta el círculo en un único punto
Definición de recta tangente	Si una recta corta un círculo en un único punto entonces es tangente a ese círculo	la intersección de x y w es un único punto						x (recta) es tangente a w (círculo)						49	Si una recta corta un círculo en un único punto	82	entonces es tangente a ese círculo
Definición de recta secante	Si una recta es secante a un círculo entonces corta el círculo en dos puntos	x (recta) es secante a w (círculo)						X e Y son intersección de x y w						38	Si una recta es secante a un círculo	76	entonces corta el círculo en dos puntos
Definición de recta secante	Si una recta corta un círculo en dos puntos entonces es secante al círculo	X e Y son intersección de x y w						x (recta) es secante a w (círculo)						45	Si una recta corta un círculo en dos puntos	74	entonces es secante al círculo
Definición de ángulo inscrito	Si un ángulo es inscrito en un círculo entonces su vértice está sobre el círculo y sus lados contienen cuerdas del círculo	<XYZ es inscrito en w						Y está sobre w	YZ contiene una cuerda de w	XY contiene una cuerda de w				40	Si un ángulo es inscrito en un círculo	122	entonces su vértice está sobre el círculo y sus lados contienen cuerdas del círculo
Definición de ángulo inscrito	Si un ángulo tiene su vértice sobre el círculo y sus lados contienen cuerdas del círculo entonces es inscrito	Y está sobre w	XY contiene una cuerda de w	YZ contiene una cuerda de w				<XYZ es inscrito en w						91	Si un ángulo tiene su vértice sobre el círculo y sus lados contienen cuerdas del círculo	110	entonces es inscrito
Definición de ángulo central	Si un ángulo es central en un círculo entonces su vértice es el centro del círculo	<XYZ es central en w						Y es centro de w						39	Si un ángulo es central en un círculo	82	entonces su vértice es el centro del círculo
Definición de ángulo central	Si un ángulo tiene su vértice en el centro del círculo, entonces es central	Y es centro de w						<XYZ es central en w						57	Si un ángulo tiene su vértice en el centro del círculo,	75	entonces es central
Teorema 4.2 triángulo isósceles-mediana	Si XYZ es un triángulo isósceles entonces la mediana del lado desigual forma un par de triángulos congruentes	triángulo XYZ es isósceles	W es punto medio de XZ					WXY=WZY						34	Si XYZ es un triángulo isósceles	109	entonces la mediana del lado desigual forma un par de triángulos congruentes
Teorema 4.3 suma de ángulos iguales	Si <XYZ = <UVW, <ZYS=<WVT, el rayo YZ esta entre el rayo YX y el rayo YS, y el rayo VW está entre el rayo VU y el rayo VT, entonces <XYS= <UVT	<XYZ = <UVW	<ZYS=<WVT	el rayo YZ está entre el rayo YX y el rayo YS	el rayo VW está entre el rayo VU y el rayo VT			<XYS= <UVT						124	Si <XYZ = <UVW, <ZYS=<WVT, el rayo YZ esta entre el rayo YX y el rayo YS, y el rayo VW está entre el rayo VU y el rayo VT,	142	entonces <XYS= <UVT
Teorema 4.4 resta de segmentos iguales	Si XZ= WU, YZ=VU, Y está entre X y Z, y V está entre W y U entonces XY=WV	XZ= WU	YZ=VU	Y está entre X y Z	V está entre W y U			XY=WV						61	Si XZ= WU, YZ=VU, Y está entre X y Z, y V está entre W y U	74	entonces XY=WV
Teorema 4.5 suma de segmentos iguales	Si XY=WV, YZ=VU, Y está entre X y Z, y V está entre W y U, entonces XZ= WU	XY=WV	YZ=VU	Y está entre X y Z	V está entre W y U			XZ= WU						61	Si XY=WV, YZ=VU, Y está entre X y Z, y V está entre W y U,	75	entonces XZ= WU
Teorema 4.6 resta de ángulos iguales	Si m<XPZ=m<WQU, m<YPZ=m<VQU, el rayo PY está entre el rayo PX y el rayo PZ, y el rayo QV está entre el rayo QW el rayo QU, entonces m<XPY=m<WQV	m<XPZ=m<WQU	m<YPZ=m<VQU	el rayo PY está entre el rayo PX y el rayo PZ	el rayo QV está entre el rayo QW el rayo QU			m<XPY=m<WQV						124	Si m<XPZ=m<WQU, m<YPZ=m<VQU, el rayo PY está entre el rayo PX y el rayo PZ, y el rayo QV está entre el rayo QW el rayo QU,	143	entonces m<XPY=m<WQV
Teorema 4.7 teorema de los complemetos congruentes	Si dos ángulos son complementarios del mismo ángulo entonces son congruentes	<XYZ+<UVW=90°	<RST+<UVW=90°					<XYZ=<RST						53	Si dos ángulos son complementarios del mismo ángulo	76	entonces son congruentes
Teorema 4.7 teorema de los complemetos congruentes	Si dos ángulos son complementarios de ángulos congruentes entonces son congruentes	<XYZ+<UVW=90°	<RST+<OPQ=90°	<UVW=<OPQ				<XYZ=<RST						60	Si dos ángulos son complementarios de ángulos congruentes	83	entonces son congruentes
Teorema 4.8 teorema de los suplemetos congruentes	Si dos ángulos son suplementarios del mismo ángulo entonces son congruentes	<XYZ+<UVW=180°	<RST+<UVW=180°					<XYZ=<RST						53	Si dos ángulos son suplementarios del mismo ángulo	76	entonces son congruentes
Teorema 4.8 teorema de los suplemetos congruentes	Si dos ángulos son suplementarios de ángulos congruentes entonces son congruentes	<XYZ+<UVW=180°	<RST+<OPQ=180°	<UVW=<OPQ				<XYZ=<RST						58	Si dos ángulos son suplementarios de ángulos congruentes	81	entonces son congruentes
Teorema 4.9 teorema de los ángulos opuestos por el vértice	Si dos rectas se cortan, entonces los ángulos opuestos por el vértice son congruentes	XY y ZV se cortan en W						<XWZ=<YWV						26	Si dos rectas se cortan,	85	entonces los ángulos opuestos por el vértice son congruentes
Teorema 5.1 ángulos correspondientes iguales	Si dos rectas se cortan por una tranversal y un par de ángulos correpondientes son congruentes, entonces las rectas son paralelas	x corta a y	x corta a z	<XYZ y <UVW son correspondientes	<XYZ=<UVW			y es paralela a z						97	Si dos rectas se cortan por una tranversal y un par de ángulos correpondientes son congruentes,	130	entonces las rectas son paralelas
Teorema 5.2 ángulos alternos internos iguales	Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos alternos internos son congruentes, entonces las rectas son paralelas	x corta a y	x corta a z	<XYZ y <UVW son alternos internos	<XYZ=<UVW			y es paralela a z						100	Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos alternos internos son congruentes,	132	entonces las rectas son paralelas
Teorema 5.3 ángulos alternos externos iguales	Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos alternos externos son congruentes, entonces las rectas son paralelas	x corta a y	x corta a z	<XYZ y <UVW son alternos externos	<XYZ=<UVW			y es paralela a z						100	Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos alternos externos son congruentes,	132	entonces las rectas son paralelas
Teorema 5.4 ángulos internos del mismo lado suplementarios	Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos internos en el mismo lado de la transversal son suplementarios, entonces las rectas son paralelas.	x corta a y	x corta a z	<XYZ y <UVW son internos del mismo lado	<XYU+<YUW=180°			y es paralela a z						129	Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos internos en el mismo lado de la transversal son suplementarios,	162	entonces las rectas son paralelas.
Teorema 5.5 transitividad del paralelismo	Si x paralela a z y z paralela a w entonces x paralela a w	x paralela a z	z paralela a w					x paralela a w						36	Si x paralela a z y z paralela a w	58	entonces x paralela a w
Teorema 5.6 ángulos alternos internos entre paralelas	Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los ángulos alternos internos son congruentes	x paralela a y	z corta a x e y	<XYZ y <UVW son alternos internos				<XYZ=<UVW						56	Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal,	109	entonces los ángulos alternos internos son congruentes
Teorema 5.7 ángulos alternos externos entre paralelas	Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los ángulos alternos externos son congruentes	x paralela a y	z corta a x e y	<XYZ y <UVW son alternos externos				<XYZ=<UVW						56	Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal,	109	entonces los ángulos alternos externos son congruentes
Teorema 5.8 ángulos correspondientes entre paralelas	Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los ángulos correspondientes son congruentes	x paralela a y	z corta a x e y	<XYZ y <UVW son correspondientes				<XYZ=<UVW						56	Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal,	108	entonces los ángulos correspondientes son congruentes
Teorema 5.9 ángulos consecutivos entre paralelas	Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los ángulos internos del mismo lado de la transversal son suplementarios	x paralela a y	z corta a x e y	<XYZ y <UVW son internos del mismo lado				<XYZ+<UVW=180°						56	Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal,	136	entonces los ángulos internos del mismo lado de la transversal son suplementarios
Teorema 6.1 triángulo isósceles	Si un triángulo es isósceles, entonces los ángulos de su base son congruentes	triángulo XYZ es isósceles en Y						<YXZ=<YZX						31	Si un triángulo es isósceles,	77	entonces los ángulos de su base son congruentes
Teorema 6.2 triángulo equilátero -equiángulo	Si un triángulo es equilátero, entonces es equiángulo	XY=YZ	YZ=XZ	XY=XZ				<XYZ=<YZX	<ZXY=<XYZ					32	Si un triángulo es equilátero,	53	entonces es equiángulo
Teorema 6.3 triángulo isósceles	Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces los lados opuestos a estos ángulos son congruentes	<XYZ=<XZY						XY=XZ						49	Si dos ángulos de un triángulo son congruentes,	107	entonces los lados opuestos a estos ángulos son congruentes
Teorema 6.4 suma de ángulos de un triángulo	Si XYZ es triángulo, entonces la suma de sus ángulos internos es 180°	XYZ es triángulo						<XYZ+<XZY+<YXZ=180°						22	Si XYZ es triángulo,	69	entonces la suma de sus ángulos internos es 180°
Teorema 6.5 ángulos triángulo equilátero	Si un triángulo es equilátero, entonces sus ángulos miden 60°	XY=YZ	XZ=YZ	XY=XZ				<XYZ=60°	<YZX=60°	<ZXY=60°				32	Si un triángulo es equilátero,	61	entonces sus ángulos miden 60°
Teorema 6.6 ángulo exterior a un triángulo	Si un ángulo es exterior a un triángulo, entonces es igual a la suma de los dos ángulos interiores no contiguos	XYZ triángulo	W está sobre XY					<ZYW=<YXZ+<XZY						42	Si un ángulo es exterior a un triángulo,	111	entonces es igual a la suma de los dos ángulos interiores no contiguos
Teorema 6.7 LAA	Si en un triángulo, dos ángulos y un lado opuesto a uno de los ángulos son congruentes con dos ángulos y el lado correpondiente de un segundo triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes	<ZXY=<WUV	<XZY=<UWV	ZY=WV				triángulo XYZ = triángulo UVW						154	Si en un triángulo, dos ángulos y un lado opuesto a uno de los ángulos son congruentes con dos ángulos y el lado correpondiente de un segundo triángulo,	196	entonces los dos triángulos son congruentes
Teorema 6.8 teorema de la hipotenusa y el ángulo	Si la hipotenusa y un ángulo agudo de un triángulo rectángulo son congruentes con la hipotenusa y un ángulo agudo de otro triángulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes	XYZ rectángulo en Z	UVW rectángulo en W	XY=UV	<ZXY=<WUV			triángulo XYZ = triángulo UVW						145	Si la hipotenusa y un ángulo agudo de un triángulo rectángulo son congruentes con la hipotenusa y un ángulo agudo de otro triángulo rectángulo,	183	entonces los triángulos son congruentes
Teorema 6.9 teorema de la hipotenusa y el cateto	Si la hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo son congruentes con la hipotenusa y un cateto de otro triángulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes	triángulo XYZ rectángulo en Z	triángulo UVW rectángulo en W	XY=UV	XZ=UW			triángulo XYZ = triángulo UVW						133	Si la hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo son congruentes con la hipotenusa y un cateto de otro triángulo rectángulo,	171	entonces los triángulos son congruentes
Teorema 6.10 mediatriz	Si un punto Z equidista de un par de puntos X y Y, entonces Z está sobre la mediatriz del segmento XY.	XZ=YZ						Z está sobre la mediatriz de XY						52	Si un punto Z equidista de un par de puntos X y Y,	103	entonces Z está sobre la mediatriz del segmento XY.
Teorema 6.10 mediatriz	Si un punto está sobre la mediatriz de XY entonces equidista de X y Y	Z está sobre la mediatriz de XY						XZ=YZ						43	Si un punto está sobre la mediatriz de XY	69	entonces equidista de X y Y
Teorema 7.1 teorema de pitágoras	Si el triángulo XYZ es un triángulo rectángulo, entonces el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos	triángulo XYZ es rectángulo en Z						XZXZ+YZYZ=XY*XY						49	Si el triángulo XYZ es un triángulo rectángulo,	170	entonces el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos
Teorema 7.2 recíproco del teorema de pitágoras	Si el triángulo XYZ tiene lados de longitudes x, y, z, y z^2=x^2+y^2, entonces el triángulo XYZ es un triángulo rectángulo.	XZXZ+YZYZ=XY*XY						triángulo XYZ es rectángulo en Z						71	Si el triángulo XYZ tiene lados de longitudes x, y, z, y z^2=x^2+y^2,	123	entonces el triángulo XYZ es un triángulo rectángulo.
Teorema 7.5 mediatrices de un triángulo	Si tres rectas son mediatrices de un triángulo entonces se cortan en un punto equidistante de los tres vértices del triángulo	u es mediatriz de XY	v es mediatriz de XZ	w es mediatriz de YZ				u, v, w se cortan en un punto Q	QX=QY=QZ					48	Si tres rectas son mediatrices de un triángulo	125	entonces se cortan en un punto equidistante de los tres vértices del triángulo
Teorema 7.6 bisectrices de un triángulo	Si tres rectas son bisectrices de los ángulos de un triángulo, entonces se cortan en un punto equidistante de los lados del triángulo	u es bisectriz de <XYZ	v es bisectriz de <YZX	w es bisectriz de <ZXY				u, v, w se cortan en un punto Q	d(Q,XY)=d(Q,XZ)	d(Q,XZ)=d(Q,YZ)				64	Si tres rectas son bisectrices de los ángulos de un triángulo,	133	entonces se cortan en un punto equidistante de los lados del triángulo
Teorema 7.7 alturas de un triángulo	Si tres rectas contienen las alturas de un triángulo, entonces se cortan en un punto	x contiene una altura del triángulo XYZ	y contiene una altura del triángulo XYZ	z contiene una altura del triángulo XYZ				x, y, z son concurrentes en T						55	Si tres rectas contienen las alturas de un triángulo,	84	entonces se cortan en un punto
Teorema 7.8 medianas de un triángulo	Si tres segmentos son medianas de un triángulo entonces se cortan en un punto situado a dos tercios de una mediana	XU es mediana del triángulo XYZ	YV es mediana del triángulo XYZ	ZW es mediana del triángulo XYZ				XU, YV, ZW son concurrentes en T	TY=2/3YV					48	Si tres segmentos son medianas de un triángulo	114	entonces se cortan en un punto situado a dos tercios de una mediana
Teorema 7.9 medidas desiguales de un triángulo	Si las medidas de dos ángulos de un triángulo son desiguales, entonces la longitud del lado opuesto al ángulo menor es menor que la longitud del lado opuesto al ángulo mayor.	<XYZ es menor que <XZY						XZ < YX						63	Si las medidas de dos ángulos de un triángulo son desiguales,	175	entonces la longitud del lado opuesto al ángulo menor es menor que la longitud del lado opuesto al ángulo mayor.
Teorema 7.10 medidas desiguales de un triángulo	Si las longitudes de dos lados de un triángulo son desiguales, entonces la medida del ángulo opuesto al lado más corto es menor que la medida del ángulo opuesto al lado más largo	XZ < YX						<XYZ es menor que <XZY						64	Si las longitudes de dos lados de un triángulo son desiguales,	179	entonces la medida del ángulo opuesto al lado más corto es menor que la medida del ángulo opuesto al lado más largo
Teorema 8.1 ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales	Si un cuadrilátero es paralelogramo entonces sus ángulos opuestos son iguales	XYZW es paralelogramo						<XYZ=<ZWX						37	Si un cuadrilátero es paralelogramo	77	entonces sus ángulos opuestos son iguales
Teorema 8.2 lados opuestos de un paralelogramo son iguales	Si un cuadrilátero es paralelogramo entonces sus lados opuestos son iguales	XYZW es paralelogramo						XY=ZW	YZ=XW					37	Si un cuadrilátero es paralelogramo	75	entonces sus lados opuestos son iguales
Teorema 8.3 ángulos adyacentes de un paralelogramo	Si un cuadrilátero es paralelogramo entonces sus ángulos adyacentes son suplementarios	XYZW es paralelogramo						<XYZ+<YZW=180						37	Si un cuadrilátero es paralelogramo	86	entonces sus ángulos adyacentes son suplementarios
Teorema 8.4 lados opuestos de un paralelogramo	Si los lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo	XY=ZW	XW=YZ					XYZW es paralelogramo						59	Si los lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes,	102	entonces el cuadrilátero es un paralelogramo
Teorema 8.5 lados opuestos de un paralelogramo	Si un cuadrilátero tiene un par de lados opuestos paralelos y congruentes, entonces es un paralelogramo	XY=ZW	XY paralelo a ZW					XYZW es paralelogramo						76	Si un cuadrilátero tiene un par de lados opuestos paralelos y congruentes,	103	entonces es un paralelogramo
Teorema 8.6 ángulos opuestos de un paralelogramo	Si los ángulos opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo	<XYZ=<ZWX	<YZW=<WXY					XYZW es paralelogramo						61	Si los ángulos opuestos de un cuadrilátero son congruentes,	104	entonces el cuadrilátero es un paralelogramo
Teorema 8.7 teorema del segmento medio	Si un segmento une los puntos medios de dos lados de un triángulo entonces es paralelo al tercer lado y tiene la mitad de su longitud	W es punto medio de XY	V es punto medio de XZ					VW es paralelo a YZ	VW=YZ/2					67	Si un segmento une los puntos medios de dos lados de un triángulo	133	entonces es paralelo al tercer lado y tiene la mitad de su longitud
Teorema 8.8 puntos medios de un cuadrilátero	Si un cuadrilátero está formado por los puntos medios de otro cuadrilátero, entonces es un paralelogramo	S es punto medio de XY	T es punto medio de YZ	U es punto medio de ZW	V es punto medio de WX			STUV es un paralelogramo						77	Si un cuadrilátero está formado por los puntos medios de otro cuadrilátero,	104	entonces es un paralelogramo
Teorema 8.9 diagonales de un rectángulo	Si un paralelogramo tiene sus diagonales iguales entonces es un rectángulo	XYZW es paralelogramo	XZ=YW					XYZW es un rectángulo						50	Si un paralelogramo tiene sus diagonales iguales	74	entonces es un rectángulo
Teorema 8.9 diagonales de un rectángulo	Si un cuadrilátero es rectángulo entonces sus diagonales son iguales	XYZW es rectángulo						XZ=YW						34	Si un cuadrilátero es rectángulo	68	entonces sus diagonales son iguales
Teorema 8.10 diagonales de un rombo	Si un paralelogramo tiene sus diagonales perpendiculares entonces es un rombo	XYZW es paralelogramo	XZ perpendicular a YW					XYZW es un rombo						58	Si un paralelogramo tiene sus diagonales perpendiculares	77	entonces es un rombo
Teorema 8.10 diagonales de un rombo	Si un cuadrilátero es un rombo entonces sus diagonales son perpendiculares	XYZW es un rombo						XZ perpendicular a YW						32	Si un cuadrilátero es un rombo	74	entonces sus diagonales son perpendiculares
Teorema 8.11 diagonales de un rombo	Si en un paralelogramo cada diagonal biseca un par de ángulos opuestos entonces es un rombo	XYZW es paralelogramo	XZ biseca a YZW	XZ biseca a WXY	YW biseca a ZWX	YW biseca a XYZ		XYZW es un rombo						72	Si en un paralelogramo cada diagonal biseca un par de ángulos opuestos	92	entonces es un rombo
Teorema 8.11 diagonales de un rombo	Si un cuadrilátero es un rombo entonces cada diagonal biseca un par de ángulos opuestos	XYZW es un rombo						XZ biseca a YZW	XZ biseca a WXY	YW biseca a ZWX	YW biseca a XYZ			33	Si un cuadrilátero es un rombo	88	entonces cada diagonal biseca un par de ángulos opuestos
Teorema 8.12 segmento medio de un trapecio	Si un segmento une los puntos medios de los dos lados no paralelos de un trapecio entonces es paralelo a las dos bases y su longitud es igual a la semisuma de las longitudes de las bases	XYZW es un trapecio	XY no es paralelo a ZW	U es punto medio de ZW	V es punto medio de XY			UV es paralelo a XW	UV=(XW+YZ)/2					83	Si un segmento une los puntos medios de los dos lados no paralelos de un trapecio	187	entonces es paralelo a las dos bases y su longitud es igual a la semisuma de las longitudes de las bases
Teorema 8.13 trapecio isósceles	Si un trapecio es isósceles entonces los ángulos de la base y las diagonales son congruentes	XYZW es un trapecio	XY no es paralelo a ZW	XY=ZW				<XYZ=<YZW	XZ=YW					29	Si un trapecio es isósceles	92	entonces los ángulos de la base y las diagonales son congruentes
Teorema 8.14 suma de ángulos de un polígono convexo	Si un polígono de n lados es convexo entonces la suma de sus ángulos es (n-2)180	x es un polígono convexo de n lados						la suma de sus ángulos es (n-2)180°						38	Si un polígono de n lados es convexo	81	entonces la suma de sus ángulos es (n-2)180
Teorema 8.15 ángulos de un polígono regular	Si un polígono de n lados es regular entonces la medida de cada uno de sus ángulos es 180° (n-2)/n	x es un polígono regular de n lados						la medida de cada uno de sus ángulos es (n-2)180°/n						38	Si un polígono de n lados es regular	98	entonces la medida de cada uno de sus ángulos es 180° (n-2)/n
Teorema 8.16 suma ángulos exteriores de un polígono	Si una figura es un polígono entonces la suma de sus ángulos exteriores es 360°	x es un polígono						la suma de sus ángulos exteriores es 360°						30	Si una figura es un polígono	80	entonces la suma de sus ángulos exteriores es 360°
Teorema 9.1 proporciones	Si a/b =c/d entonces ad=bc	x/y =z/w						xw=yz						13	Si a/b =c/d	26	entonces ad=bc
Teorema 9.2 proporciones	Si a/b=c/d entonces [(a+b)/b]=[(c+d)/d]	x/y=z/w						[(x+y)/y]=[(z+w)/w]						12	Si a/b=c/d	39	entonces [(a+b)/b]=[(c+d)/d]
Teorema 9.3 proporciones	Si (a/b)=(c/d) entonces [(a-b)/b]=[(c-d)/d]	(x/y)=(z/w)						[(x-y)/y]=[(z-w)/w]						16	Si (a/b)=(c/d)	43	entonces [(a-b)/b]=[(c-d)/d]
Teorema 9.4 proporciones	Si (a/b) =(c/d) entonces (a/c)=(b/d)	(x/y) =(z/w)						(x/z)=(y/w)						17	Si (a/b) =(c/d)	36	entonces (a/c)=(b/d)
Teorema 9.5 proporciones	Si ad=bc, entonces (a/b)=(c/d)	xw=yz						(x/y)=(z/w)						11	Si ad=bc,	30	entonces (a/b)=(c/d)
Teorea 9.6 recta paralela a un lado de un triángulo	Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca a los otros dos lados, entonces divide a éstos proporcionalmente	x paralela a YZ	x corta a XY en U	x corta a XZ en V				XU/XV=UY/VZ						82	Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca a los otros dos lados,	122	entonces divide a éstos proporcionalmente
Teorema 9.7 recta paralela a un lado de un triángulo	Si una recta interseca a dos lados de un triángulo y los divide proporcionalmente, entonces la recta es paralela al tercer lado	x corta a XY en U	x corta a XZ en V	XU/XV=UY/VZ				x paralela a YZ						84	Si una recta interseca a dos lados de un triángulo y los divide proporcionalmente,	127	entonces la recta es paralela al tercer lado
Teorema 9.8 teorema de la semejanza AA	Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, con dos ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes	<XYZ=<UVW	<YZX=<VWU					triángulo XYZ es semejante al triángulo UVW						84	Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, con dos ángulos de otro triángulo,	121	entonces los triángulos son semejantes
Teorema 9.9 semejanza de triángulos rectángulos	Si un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es congruente con un ángulo agudo de otro triángulo rectángulo entonces los triángulos son semejantes	triángulo XYZ es rectángulo en Z	triángulo UVW es rectángulo en W	<XYZ=<UVW				el triángulo XYZ y el triángulo UVW son semejantes						110	Si un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es congruente con un ángulo agudo de otro triángulo rectángulo	147	entonces los triángulos son semejantes
Teorema 9.10 altura de un triángulo rectángulo	Si un triángulo es rectángulo entonces la longitud de la altura de la hipotenusa es la media geométrica entre las longitudes de los dos segmentos de la hipotenusa	triángulo XYZ es rectángulo en Z	ZW es altura de XYZ					ZWZW=XWYW						31	Si un triángulo es rectángulo	162	entonces la longitud de la altura de la hipotenusa es la media geométrica entre las longitudes de los dos segmentos de la hipotenusa
Teorema 9.11 media geométrica catetos de un triángulo rectángulo	Si un triángulo es rectángulo entonces cada cateto es la media geométrica entre la hipotenusa y su proyección sobre la hipotenusa	triángulo XYZ es rectángulo en Z	ZW es altura de XYZ					XZ2=XY*XW						31	Si un triángulo es rectángulo	130	entonces cada cateto es la media geométrica entre la hipotenusa y su proyección sobre la hipotenusa
Teorema 9.12 teorema de la semejanza LLL	Si los tres lados de un triángulo son proporcionales a los tres lados de otro triángulo, entonces los dos triángulos son semejantes	XY/UV=YZ/VW=XZ/UW						el triángulo XYZ y el triángulo UVW son semejantes						90	Si los tres lados de un triángulo son proporcionales a los tres lados de otro triángulo,	131	entonces los dos triángulos son semejantes
Teorema 9.13 teorema de la semejanza LAL	Si un ángulo de un triángulo es congruente con un ángulo de otro triángulo y si los lados correspondientes que incluyen al ángulo son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes	<XYZ=<UVW	XY/UV=YZ/VW					el triángulo XYZ y el triángulo UVW son semejantes						151	Si un ángulo de un triángulo es congruente con un ángulo de otro triángulo y si los lados correspondientes que incluyen al ángulo son proporcionales,	188	entonces los triángulos son semejantes
Teorema 10.1 cuerdas congruentes	Si x es un círculo, entonces las cuerdas congruentes tienen arcos menores congruentes	x es un círculo	XY es una cuerda	XUY es un arco menor	ZW es una cuerda	ZVW es un arco menor	XY=ZW	XUY=ZVW						21	Si x es un círculo,	85	entonces las cuerdas congruentes tienen arcos menores congruentes
Teorema 10.1 cuerdas congruentes	Si dos círculos son congruentes entonces sus cuerdas congruentes tienen arcos menores congruentes	círculo x=círculo y	XY es una cuerda de x	XUY es un arco menor	ZW es una cuerda de y	ZVW es un arco menor	XY=ZW	XUY=ZVW						33	Si dos círculos son congruentes	97	entonces sus cuerdas congruentes tienen arcos menores congruentes
Teorema 10.2 cuerdas congruentes	Si dos arcos menores de un círculo son congruentes entonces sus cuerdas son congruentes	XYZ es un arco menor de x	UVW es un arco menor de x	XYZ=UVW				XY=UW						52	Si dos arcos menores de un círculo son congruentes	87	entonces sus cuerdas son congruentes
Teorema 10.2 cuerdas congruentes	Si dos arcos menores de dos círculos congruentes son congruentes entonces sus cuerdas son congruentes	circulo x =círculo y	XYZ es un arco menor de x	UVW es un arco menor de y				XY=UW						66	Si dos arcos menores de dos círculos congruentes son congruentes	101	entonces sus cuerdas son congruentes
Teorema 10.3 cuerdas congruentes equidistan del centro	Si dos cuerdas de un círculo son congruentes entonces equidistan del centro	W es centro de w	X está sobre w	Y está sobre w	Z está sobre w	V está sobre w	XY=ZV	d(XY,W)=d(ZV,W)						46	Si dos cuerdas de un círculo son congruentes	75	entonces equidistan del centro
Teorema 10.3 cuerdas congruentes	Si dos cuerdas de dos círculos congruentes son congruentes, entonces equidistan de los centros	W es centro de w	U es centro de u	w=u	XY es cuerda de w	TV es cuerda de u	XY=TV	d(XY,W)=d(TV,U)						61	Si dos cuerdas de dos círculos congruentes son congruentes,	94	entonces equidistan de los centros
Teorema 10.4 cuerdas que equidistan del centro	Si dos cuerdas equidistan del centro de un círculo entonces son congruentes	XY es cuerda de w	UV es cuerda de w	W es centro de w	d(XY,W)=d(UV,W)			XY=UV						52	Si dos cuerdas equidistan del centro de un círculo	75	entonces son congruentes
Teorema 10.4 cuerdas que equidistan	Si dos cuerdas de dos círculos congruentes equidistan de los centros, entonces son congruentes	W es centro de w	U es centro de u	w=u	XY es cuerda de w	TV es cuerda de u	d(XY,W)=d(TV,U)	XY=TV						71	Si dos cuerdas de dos círculos congruentes equidistan de los centros,	94	entonces son congruentes
Teorema 10.5 mediatriz de una cuerda	Si una recta es mediatriz de una cuerda de un círculo entonces contiene al centro del círculo	x es mediatriz de YZ	Y está sobre w	Z está sobre w	V es centro de w			x pasa por V						55	Si una recta es mediatriz de una cuerda de un círculo	93	entonces contiene al centro del círculo
Teorema 10.6 bisectriz de una cuerda	Si una recta que pasa por el centro de un círculo es perpendicular a una cuerda que no es un diámetro, entonces biseca a la cuerda	x pasa por W	W centro de w	XY es una cuerda de w	XY no pasa por W	x es perpendicular a XY	Z es intersección de x y XY	XZ=ZY						104	Si una recta que pasa por el centro de un círculo es perpendicular a una cuerda que no es un diámetro,	131	entonces biseca a la cuerda
Teorema 10.7 bisectriz de una cuerda	Si una recta que pasa por el centro de un círculo biseca a una cuerda que no es un diámetro, entonces es perpendicular a la cuerda	x pasa por W	W centro de w	XY es una cuerda de w	XY no pasa por W	Z es intersección de x y XY	XZ=ZY	x es perpendicular a XY						94	Si una recta que pasa por el centro de un círculo biseca a una cuerda que no es un diámetro,	130	entonces es perpendicular a la cuerda
Teorema 10.8 recta tangente a un círculo	Si una recta es perpendicular a un radio en un punto del círculo, entonces la recta es tangente al círculo	x es perpendicular a YZ por Z	Y es centro de w	Z está sobre w				x es tangente a w						67	Si una recta es perpendicular a un radio en un punto del círculo,	106	entonces la recta es tangente al círculo
Teorema 10.9 recta tangente a un círculo	Si una recta es tangente a un círculo, entonces el radio trazado hasta el punto de contacto es perpendicular a la tangente	x es tangente a w	Z es punto de tangencia	Y es centro de w				x es perpendicular a YZ por Z						40	Si una recta es tangente a un círculo,	122	entonces el radio trazado hasta el punto de contacto es perpendicular a la tangente
Teorema 10.10 recta tangente	Si una recta es perpendicular a una tangente en un punto del círculo, entonces la recta contiene al centro del círculo	x es tangente al círculo w	Z es punto de tangencia	Y es centro de w	y es perpendicular a x por Z			y pasa por Y						71	Si una recta es perpendicular a una tangente en un punto del círculo,	118	entonces la recta contiene al centro del círculo
Teorema 10.11 segmentos tangentes desde un punto exterior	Si dos segmentos son tangentes a un círculo desde un punto exterior entonces son congruentes y forman ángulos congruentes con la recta que une el centro con el punto	W es centro de w	X es exterior a w	Y está sobre w	Z está sobre w	XY es tangente a w	XZ es tangente a w	XY=XZ	<WXY=<WXZ					69	Si dos segmentos son tangentes a un círculo desde un punto exterior	165	entonces son congruentes y forman ángulos congruentes con la recta que une el centro con el punto
Teorema 10.12 ángulo inscrito	Si un ángulo es inscrito en un círculo entonces es la mitad de su arco interceptado	X está sobre w	Y está sobre w	Z está sobre w	V es centro de w			<XYZ=(<XVZ)/2						40	Si un ángulo es inscrito en un círculo	83	entonces es la mitad de su arco interceptado
Teorema 10.13 un ángulo inscrito en un semicírculo	Si un ángulo está inscrito en un semicírculo entonces es un ángulo recto	XY es diámetro de w	Z está sobre w					<XZY es recto						46	Si un ángulo está inscrito en un semicírculo	72	entonces es un ángulo recto
Teorema 10.14 cuerdas que se cortan en el interior de un círculo	Si un ángulo está formado por dos cuerdas que se cortan en el interior de un círculo entonces es igual a la semisuma de los arcos interceptados	XY es cuerda de w	UV es cuerda de w	W es centro de w	T es intersección de XY y UV			<XTU=(<XWU+<YWV)/2						86	Si un ángulo está formado por dos cuerdas que se cortan en el interior de un círculo	143	entonces es igual a la semisuma de los arcos interceptados
Teorema 10.15 ángulo formado por una cuerda y una tangente a un círculo	Si un ángulo está formado por una tangente a un circulo y una cuerda con extremo en el punto de tangencia entonces mide la mitad del arco interceptado	la recta XY es tangente al círculo w en Y	YZ es cuerda de w					<XYZ=(la medida del arco YZ)/2						107	Si un ángulo está formado por una tangente a un circulo y una cuerda con extremo en el punto de tangencia	150	entonces mide la mitad del arco interceptado
Teorema 10.16 tangentes a un mismo círculo	Si un ángulo está formado por dos tangentes a un mismo círculo, entonces mide la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados	la recta XZ es tangente al círculo w en X	la recta YZ es tangente al círculo w en Y					<XZY=(la medidada del arco mayor XY - la medidada del arco menor XY)/2						65	Si un ángulo está formado por dos tangentes a un mismo círculo,	145	entonces mide la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados
Teorema 10.17 secante y tangente a un círculo desde un punto exterior	Si un ángulo está formado por una tangente y una secante a un círculo desde un punto exterior entonces mide la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados	la recta VZ es tangente al círculo w en Z	la recta x pasa por V	la recta x y el círculo w se cortan en X y Y				<XVZ=\|la medida del arco XZ -la medida del arco YZ\|/2						95	Si un ángulo está formado por una tangente y una secante a un círculo desde un punto exterior	175	entonces mide la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados
Teorema 10.17 secantes a un círculo desde un punto exterior	Si un ángulo está formado por dos secantes a un círculo desde un punto exterior entonces mide la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados	V es exterior a w	los puntos X,Y,Z y U están sobre w	la recta XY y la recta ZU se cortan en V	<XVU es el ángulo entre XY y ZU			<XVU=\| la medida del arco XU - la medida del arco YZ \|/2						81	Si un ángulo está formado por dos secantes a un círculo desde un punto exterior	161	entonces mide la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados
Teorema 10.18 segmento secante y tangente a un círculo desde un punto exterior	Si un segmento tangente y uno secante a un círculo tienen un extremo común exterior al círculo, entonces el cuadrado de la longitud del segmento tangente es igual al producto de las longitudes del segmento secante por su segmento secante externo	X está sobre el círculo w	V es exterior a w	XV es secante al círculo w	Z es intersección de XV y el círculo w	YV es tangente al círculo w en Y		(YV)(YV)=(XV)(ZV)						97	Si un segmento tangente y uno secante a un círculo tienen un extremo común exterior al círculo,	245	entonces el cuadrado de la longitud del segmento tangente es igual al producto de las longitudes del segmento secante por su segmento secante externo
Teorema 10.19 cuerdas que se cortan en el interior de un círculo	Si dos cuerdas se intersecan en un circulo, entonces el producto de las longitudes de los segmentos de una cuerda es igual al producto de las longitudes de los segmentos de la segunda cuerda	los puntos X,Y,Z y U están sobre w	XY es cuerda de w	ZU es cuerda de w	V es intersección de XY y ZU			XVVY=ZVVU						45	Si dos cuerdas se intersecan en un circulo,	190	entonces el producto de las longitudes de los segmentos de una cuerda es igual al producto de las longitudes de los segmentos de la segunda cuerda
Teorema 10.20 secantes a un círculo desde un punto exterior	Si dos segmentos secantes a un círculo tienen un extremo común exterior al círculo entonces el producto de las longitudes de un segmento secante y su segmento secante externo es igual al producto de las longitudes del otro segmento secante y su segmento secante externo	los puntos X,Y,Z y U están sobre w	V es exterior a w	V es intersección de la recta XY y la recta ZU				XVYV)=ZVUV						84	Si dos segmentos secantes a un círculo tienen un extremo común exterior al círculo	269	entonces el producto de las longitudes de un segmento secante y su segmento secante externo es igual al producto de las longitudes del otro segmento secante y su segmento secante externo
Postulado de la congruencia LAL	Si dos lados y el ángulo comprendido de un triángulo son respectivamente congruentes con dos lados y el ángulo comprendido de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes	XY=UV	YZ=VW	<XYZ=<UVW				los triángulos XYZ y UVW son congruentes						143	Si dos lados y el ángulo comprendido de un triángulo son respectivamente congruentes con dos lados y el ángulo comprendido de otro triángulo,	185	entonces los dos triángulos son congruentes
Postulado de la congruencia ALA	Si dos ángulos y el lado comprendido de un triángulo son respectivamente congruentes con dos ángulos y el lado comprendido de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes	<XYZ=<UVW	<YZX=<VWU	YZ=VW				los triángulos XYZ y UVW son congruentes						143	Si dos ángulos y el lado comprendido de un triángulo son respectivamente congruentes con dos ángulos y el lado comprendido de otro triángulo,	185	entonces los dos triángulos son congruentes
Postulado de la congruencia LLL	Si los tres lados de un triángulo son respectivamente congruentes con los tres lados de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes	XY=UV	YZ=VW	XZ=UW				los triángulos XYZ y UVW son congruentes						105	Si los tres lados de un triángulo son respectivamente congruentes con los tres lados de otro triángulo,	147	entonces los dos triángulos son congruentes
Postulado par lineal	Si dos ángulos forman un par lineal, entonces son suplementarios	<XYZ y <ZYW forman un par lineal						<XYZ+<ZYW=180°						38	Si dos ángulos forman un par lineal,	65	entonces son suplementarios
Postulado de la desigualdad del triángulo	Si una figura es un triángulo, entonces la suma de las longitudes de dos lados es mayor que la longitud del tercer lado	XYZ es un triángulo						XY+YZ>XZ						32	Si una figura es un triángulo,	119	entonces la suma de las longitudes de dos lados es mayor que la longitud del tercer lado
Postulado semejanza AAA	Si tres ángulos de un triángulo son congruentes con los tres ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes	<XYZ=<UVW	<YZX=<VWU	<ZXY=<WUV				el triángulo XYZ es semejante al triángulo UVW						89	Si tres ángulos de un triángulo son congruentes con los tres ángulos de otro triángulo,	126	entonces los triángulos son semejantes
Postulado de la suma de arcos	Si Z está en el arco XY, entonces la medida del arco XZ más la medida del arco ZY es igual a la medida del arco XY	Z esta en el arco XY						la medida del arco XZ más la medida del arco ZY es igual a la medida del arco XY						26	Si Z está en el arco XY,	114	entonces la medida del arco XZ más la medida del arco ZY es igual a la medida del arco XY
Definición de polígono regular	Si un polígono es regular entonces tiene sus ángulos iguales y sus lados iguales	x es un polígono regular						x tiene sus lados iguales	x tiene sus ángulos iguales					27	Si un polígono es regular	81	entonces tiene sus ángulos iguales y sus lados iguales
Definición de polígono regular	Si un polígono tiene sus ángulos iguales y sus lados iguales entonces es un polígono regular	x tiene sus lados iguales	x tiene sus ángulos iguales					x es un polígono regular						62	Si un polígono tiene sus ángulos iguales y sus lados iguales	92	entonces es un polígono regular
Transitividad de la igualdad	Si x=y y y=z entonces x=z	x=y	y=z					x=z						14	Si x=y y y=z	25	entonces x=z
Postulado suma de áreas	Si una región poligonal es la unión de n regiones poligonales que no se solapan entonces su área es la suma de las áreas de las n regiones	la región poligonal S es la unión de las regiones poligonales S1,...,Sn						A(S)=A(S1)+…+A(Sn)						81	Si una región poligonal es la unión de n regiones poligonales que no se solapan	139	entonces su área es la suma de las áreas de las n regiones
Postulado del área del rectángulo	Si un rectángulo tiene longitud b y ancho w entonces su área está dada por la fórmula bw	el rectángulo x tiene longitud b	el rectángulo x tiene ancho w					A(x)=bw						45	Si un rectángulo tiene longitud b y ancho w	88	entonces su área está dada por la fórmula bw
Teorema 11.1 área del paralelogramo	Si un paralelogramo tien altura h y base b entonces su área está dada por la fórmula bh	el paralelogramo x tiene altura h	el paralelogramo x tiene base b					A(x)=bh						44	Si un paralelogramo tien altura h y base b	88	entonces su área está dada por la fórmula bh
Definición de triángulo rectángulo	Si un triángulo es rectángulo entonces tiene un ángulo recto	el triángulo XYZ es rectángulo en Y						<XYZ=90°						31	Si un triángulo es rectángulo	60	entonces tiene un ángulo recto
Definición de triángulo rectángulo	Si un triángulo tiene un ángulo recto entonces es rectángulo	<XYZ=90°						el triángulo XYZ es rectángulo en Y						39	Si un triángulo tiene un ángulo recto	60	entonces es rectángulo
Definición de trapecio	Si un cuadrilátero es un trapecio entonces tiene exactamente un par de lados opuestos paralelos	XYZW es un trapecio						XY es paralelo a ZW o YZ es paralelo a XW						35	Si un cuadrilátero es un trapecio	95	entonces tiene exactamente un par de lados opuestos paralelos
Definición de trapecio	Si un cuadrilátero tiene exactamente un par de lados opuestos paralelos entonces es un trapecio	XY es paralelo a ZW						XYZW es un trapecio						73	Si un cuadrilátero tiene exactamente un par de lados opuestos paralelos	95	entonces es un trapecio
Teorema 11.2 área del triángulo	Si un triángulo tiene base b y altura correspondiente h entonces su área está dada por la formula bh/2	el triángulo x tiene base b	el triángulo x tiene altura h					A(x)=bh/2						57	Si un triángulo tiene base b y altura correspondiente h	102	entonces su área está dada por la formula bh/2
Teorea 11.3 fórmula de Herón	Si un triángulo tiene lados de longitudes a, b, c y perímetro 2s entonces su área satisface la igualdad [A(x)]^2=s(s-a)(s-b)(s-c)	el triángulo x tiene lados de longitudes a,b,c	el triángulo x tiene perímetro 2s					[A(x)]^2=s(s-a)(s-b)(s-c)						66	Si un triángulo tiene lados de longitudes a, b, c y perímetro 2s	129	entonces su área satisface la igualdad [A(x)]^2=s(s-a)(s-b)(s-c)
Teorema 11.4 área del trapecio	Si un trapecio tiene bases de longitudes u y w y altura h entonces su área está dada por la fórmula h(u+w)/2	el trapecio x tiene bases u y w	el trapecio x tiene altura h					A(x)=h(u+w)/2						59	Si un trapecio tiene bases de longitudes u y w y altura h	108	entonces su área está dada por la fórmula h(u+w)/2
Teorema 11.5 área polígono regular	Si un polígono es regular con perímetro p y apotema de longitud a entonces su área está dada porla fórmula ap/2	x es un polígono regular	x tiene perímetro p	x tiene apotema de longitud a				A(x)=ap/2						67	Si un polígono es regular con perímetro p y apotema de longitud a	111	entonces su área está dada porla fórmula ap/2
Teorema 11.6 perímetros polígonos semejantes	Si dos polígonos son semejantes entonces la razón entre sus perímetros es igual a la razón entre las longitudes de cualquier par de lados correspondientes	x y y son polígonos semejantes	x tiene perímetro p1	y tiene perímetro p2	a y b son las longitudes de lados correspondientes de x y y respectivamente			p1/p2=a/b						33	Si dos polígonos son semejantes	154	entonces la razón entre sus perímetros es igual a la razón entre las longitudes de cualquier par de lados correspondientes
Teorema 11.7 áreas polígonos semejantes	Si dos polígonos son semejantes entonces la razón entre sus áreas es igual al cuadrado de la razón entre las longitudes de cualquier par de lados correspondientes	x y y son polígonos semejantes	x tiene área A1	y tiene área A2	a y b son las longitudes de lados correspondientes de x y y respectivamente			A1/A2=(a/b)^2
Teorema 11.8 razón entre perímetro y diámetro del círculo	Si x y y son dos círculos culesquiera con perímetros p1 y p2 y diámetros d1 y d2 respectivamente entonces p1/d1=p2/d2	x y y son círculos	x tiene perímetro p1	x tiene diámetro d1	y tiene perímetro p2	y tiene diámetro d2		p1/d1=p2/d2
Teorema 11.9 perímetro del círculo	Si un círculo tine radio r entonces su perímetro viene dado por la fórmula 2pr	el círclo x tiene radio r	x tiene perímetro p					p=2pr
Teorema 11.10	Si un círculo tiene radio r entonces su área viene dada por la fórmula pr^2	el círclo x tiene radio r						A(x)=pr^2

Paso de Razonamiento

Condiciones Necesarias Limpiar

Regla Teórica Limpiar

Conclusión Limpiar


Nombre	Lengua Natural	Simbolos

Afirmaciones Demostradas

Agregar

Afirmaciones por Demostrar

Agregar

Listado de pasos de razonamiento

Condiciones Necesarias

Regla Teórica

Conclusión

Ingreso del Problema

Dado

Demostrar

Alguna de las afirmaciones del consecuente de la regla teórica corresponde a la afirmación que usted quiere desmostrar?

Todas las condiciones del antecedente están en las condiciones necesarias?