Conclusión
Gracias a estos ejemplos de solución de problemas utilizando SGD, es posible identificar dos tipos de tarea de la praxeología matemática: resolver un problema de construcción y resolver un problema de demostración. En el primer tipo de tarea se deben buscar propiedades que garanticen que a partir de los objetos dados, y utilizando las herramientas de construcción disponibles, se garanticen las propiedades pedidas en el problema; la solución de este tipo de tarea es un procedimiento de construcción. En el segundo tipo de problema se deben buscar argumentos deductivos para poder concluir unas propiedades a partir de los objetos y propiedades dadas; la solución de este tipo de tarea es una cadena de razonamientos deductivos.
Para resolver estos dos tipos de tarea, se exhiben tanto técnicas teórico-geométricas como técnicas que implican el uso del SGD.
Dentro de las técnicas teórico-geométricas aparecen principalmente el método de análisis y el método del lugar geométrico.
El método de análisis consiste en considerar tanto los objetos y propiedades dados en el problema como las propiedades pedidas en él, y a partir de ellos aplicar conocimientos teóricos (definiciones, postulados, teoremas) para deducir otras propiedades; dentro de las propiedades deducidas, identificar aquellas que relacionan los objetos que ya se saben construir con los objetos que aún no se saben construir, y que permiten entonces producir esos objetos con las herramientas disponibles.
El método del lugar geométrico se aplica a problemas que pueden reducirse a la construcción de un punto. Se considera ese punto buscado como definido a partir de dos condiciones. Luego se considera por separado cada una de las condiciones, que definen dos lugares geométricos. El punto buscado se encontrará en la intersección de esos dos lugares geométricos.
Por su parte, en el uso del SGD, aparece la dialéctica construcción-aproximada/construcción-exacta.
La dialéctica construcción-aproximada/construcción-exacta consiste en realizar una construcción que llamamos aproximada, en la que algunas propiedades se cumplen y se mantienen al arrastrar los objetos de la construcción, pero las propiedades pedidas en el problema se obtienen acomodando la posición de algunos de los objetos de la construcción. Teniendo esa construcción aproximada, se procede a identificar otras propiedades que se cumplen para esas posiciones determinadas de los objetos de la construcción, y dentro de estas nuevas propiedades aquellas que relacionan los objetos que ya se saben construir con aquellos que aún no se saben construir (y cuya posición se acomoda para obtener las propiedades pedidas en el problema). Finalmente, se procede a una verificación experimental de las conjeturas que suponen que las propiedades pedidas pueden obtenerse a partir de las ‘nuevas’ propiedades identificadas en la construcción aproximada. Esta verificación experimental consiste en realizar un procedimiento de construcción que garantiza las propiedades encontradas en la construcción aproximada, y verificar la presencia de las propiedades pedidas en el problema.
La construcción aproximada que se utiliza en esta técnica puede tomar dos formas que en la comunidad de usuarios reciben los nombres de ‘construcción blanda’ e ‘hilvanado’. La construcción blanda es una construcción en la que la propiedad pedida en el problema se obtiene ajustando la posición de un punto; normalmente, ese punto es un ‘punto sobre objeto’, es decir que puede arrastrarse a lo largo de ese objeto. Todas las demás propiedades están garantizadas por construcción, y se mantienen al arrastrar los objetos de la construcción. Pero la propiedad pedida sólo se obtiene para una o varias posiciones determinadas de ese punto sobre objeto (en realidad, esa propiedad se cumple ‘de manera aproximada’: en la medida en que el punto sobre objeto se acerca a una posición determinada, esa propiedad ‘parece cumplirse’).
El hilvanado se utiliza para identificar la forma de un lugar geométrico. Consiste en acomodar muchos puntos para que aparentemente cumplan una determinada propiedad, y al observar ese conjunto de puntos identificar una forma geométrica conocida.
La verificación experimental tiene dos funciones o aplicaciones diferentes: permite verificar al mismo tiempo la presencia o ausencia de una propiedad en una construcción determinada (la propiedad pedida en el problema), y la validez de una implicación lógica entre dos conjuntos de propiedades (que corresponde a la conjetura que relaciona una propiedad ‘encontrada’ con la propiedad pedida por el problema). Por esta razón, la experimentación con el software no solo posibilita encontrar construcciones que son soluciones a los problemas planteados, sino que también posibilita encontrar implicaciones lógicas que permiten realizar deducciones. La experimentación con el SGD puede usarse con el objetivo de resolver el problema práctico: ¿qué procedimientos de construcción pueden usarse para obtener las propiedades pedidas a partir de lo dado en un problema de construcción? Pero también es posible usar la experimentación con el SGD para resolver el problema teórico: ¿cómo conectar lógicamente (cómo deducir) las propiedades pedidas a partir de lo dado en el problema?
La experimentación con el software necesita al mismo tiempo la movilización de conocimientos teóricos (definiciones, teoremas) y la aplicación de habilidades de visualización (capacidad de aislar perceptivamente subconfiguraciones dentro de una configuración global, para considerar relaciones entre algunos de los objetos que constituyen la figura). En el proceso de solución de problemas se produce una fuerte interacción entre esos dos procesos cognitivos: los conocimientos teóricos movilizados facilitan y promueven la visualización, y la visualización permite la evocación y movilización de conocimientos teóricos. La posibilidad que ofrece el SGD de arrastrar los objetos y observar el movimiento para identificar lo que permanece invariante dentro de la variación, unida a la posibilidad de medir los objetos con gran precisión (y por lo tanto ‘dar a ver’ relaciones que escapan a la percepción) potencia de manera significativa esa interacción entre conocimientos teóricos y visualización. Son esas dos características del SGD las que permiten una distinción clara y pragmática entre construcción aproximada (en la que algunas propiedades se obtienen ajustando la posición de los objetos) y construcción exacta (en la que las propiedades son independientes del ajuste de la posición de los objetos – que popularmente se ha llamado ‘resistir el arrastre’). Y aunque esa distinción tiende a privilegiar las construcciones exactas, no hay que olvidar que esas construcciones exactas se encuentran experimentando con las construcciones aproximadas (sin las cuales no sería posible o sería muy difícil resolver los problemas).